Funzioni di più variabili

La condizione $9-x^2-y^2\ge 0$ equivale a $x^2+y^2\le 9$: il dominio è il disco chiuso di centro l’origine e raggio $3$, che è un insieme compatto.

La condizione $x+y-1>0$ equivale a $y>1-x$: il dominio è il semipiano aperto sopra la retta $y=1-x$, retta esclusa. È un insieme aperto, connesso, non limitato.

Le condizioni a sistema sono

quindi il dominio è la regione sopra la parabola $y=x^2$, parabola inclusa, privata dei punti della circonferenza di centro l’origine e raggio $2$ che vi appartengono.

L’equazione $x^2+y^2+2y=k$ equivale a $x^2+(y+1{)}^2=k+1$. Per $k>-1$ la curva di livello è la circonferenza di centro $(0,-1)$ e raggio $\sqrt{k+1}$; per $k=-1$ è il solo punto $(0,-1)$; per $k<-1$ è vuota.

Per $k\le 0$ l’insieme di livello è vuoto. Per $k>0$ l’equazione equivale a $xy=\ln k$: se $k=1$ la curva di livello è l’unione dei due assi, se $k\ne 1$ è l’iperbole equilatera $xy=\ln k$, con i rami nel primo e terzo quadrante per $k>1$ e nel secondo e quarto per $0<k<1$.

Il limite non esiste: la restrizione all’asse $x$ vale costantemente $3$, la restrizione all’asse $y$ vale costantemente $-1$, quindi due restrizioni producono limiti diversi.

Il limite non esiste: lungo ogni retta per l’origine la restrizione tende a $0$, ma lungo la curva $y=x^3$ si ha $f(x,x^3)=\frac{x^6}{2x^6}=\frac{1}{2}$, quindi due restrizioni producono limiti diversi.

In coordinate polari l’espressione diventa $\rho \cos \theta {\sin }^2\theta$, maggiorata in valore assoluto da $g(\rho )=\rho \to 0^{+}$ indipendentemente da $\theta$, quindi il limite vale $0$.

Poiché $x^4+y^4\le (x^2+y^2{)}^2$, l’espressione è compresa tra $0$ e $x^2+y^2\to 0$, quindi il limite vale $0$.

Con $t=x^2+y^2={\rho }^2\to 0^{+}$ l’espressione diventa $\frac{e^t-1}{t}\to 1$; non contiene $\theta$, quindi il limite vale $1$.

Fuori dall’origine $f$ è continua perché quoziente di polinomi con denominatore non nullo. Nell’origine, poiché $\frac{y^2}{x^2+y^2}\le 1$, risulta $|f(x,y)|\le |y|\to 0=f(0,0)$, quindi $f$ è continua in tutto ${\mathbb{R}}^2$.

Fuori dall’origine $f$ è continua. Nell’origine il limite non esiste: lungo l’asse $x$ la restrizione vale costantemente $1$, lungo la retta $y=-x$ vale costantemente $0$. Quindi $f$ non è continua in $(0,0)$, qualunque valore vi si assegni.

Con $t=3(x^2+y^2)\to 0^{+}$ l’espressione diventa $3\cdot \frac{\sin t}{t}\to 3$; non dipende da $\theta$, quindi il limite vale $3$ e la funzione si prolunga per continuità ponendo $\tilde{f}(0,0)=3$.

Sì: $f$ è un polinomio, quindi è continua su ${\mathbb{R}}^2$, e $K$ è chiuso e limitato, quindi compatto. Entrambe le ipotesi del teorema di Weierstrass sono verificate, perciò $f$ ammette massimo e minimo assoluti su $K$.