Funzioni di più variabili

Lo spazio ℝⁿ

${\mathbb{R}}^n$ è l’insieme delle $n$-uple ordinate di numeri reali $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)$. Per $n=2$ i punti si indicano con $(x,y)$, per $n=3$ con $(x,y,z)$. La somma e il prodotto per uno scalare si eseguono componente per componente:

Le funzioni di più variabili sono definite su sottoinsiemi di ${\mathbb{R}}^n$; le definizioni di questo capitolo si enunciano per $n$ qualunque e negli esercizi si usano quasi sempre con $n=2$.

Norma euclidea e distanza

La norma euclidea di $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ è

La distanza tra due punti $P$ e $Q$ è $d(P,Q)=\Vert P-Q\Vert$; nel piano, per $P=(x_1,y_1)$ e $Q=(x_2,y_2)$,

Per $n=1$ la norma coincide con il valore assoluto, quindi la norma estende a ${\mathbb{R}}^n$ lo strumento con cui in Analisi 1 si misurano le vicinanze: ogni condizione del tipo $|x-x_0|<\delta$ diventa $\Vert P-P_0\Vert <\delta$.

Intorno circolare

Per $P_0\in {\mathbb{R}}^n$ e $r>0$, l’intorno di $P_0$ di raggio $r$ è

In ${\mathbb{R}}^2$ è il disco aperto di centro $P_0$ e raggio $r$, senza la circonferenza di bordo; in ${\mathbb{R}}^3$ è la palla aperta. L’intorno circolare sostituisce l’intervallo $(x_0-r,x_0+r)$ di Analisi 1 e compare in tutte le definizioni che seguono: punti interni, insiemi aperti, limiti e continuità.

Punto interno, esterno, di frontiera

Sia $A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ e $P_0\in {\mathbb{R}}^2$. Il punto $P_0$ è

• interno ad $A$ se esiste un intorno $B(P_0,r)$ contenuto in $A$;
• esterno ad $A$ se esiste un intorno $B(P_0,r)$ contenuto nel complementare di $A$;
• di frontiera per $A$ se ogni intorno di $P_0$ contiene sia punti di $A$ sia punti del complementare.

Ogni punto del piano è esattamente di uno dei tre tipi. L’insieme dei punti interni si indica con $\mathring{A}$, l’insieme dei punti di frontiera con $\partial A$. La classificazione dei punti serve a riconoscere gli insiemi aperti e chiusi, che compaiono nelle ipotesi dei teoremi di questo capitolo.

Punto di accumulazione

$P_0\in {\mathbb{R}}^2$ è di accumulazione per $A$ se ogni intorno di $P_0$ contiene almeno un punto di $A$ diverso da $P_0$. Il punto può appartenere ad $A$ oppure no. Un punto di $A$ che non è di accumulazione per $A$ si dice isolato. Come in una variabile, il limite per $(x,y)\to (x_0,y_0)$ ha senso soltanto se $(x_0,y_0)$ è di accumulazione per il dominio: negli esercizi il caso tipico è l’origine, punto di accumulazione per ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$.

Insieme aperto e insieme chiuso

$A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ è aperto se ogni suo punto è interno, cioè se $A=\mathring{A}$; è chiuso se il suo complementare è aperto, condizione equivalente a $\partial A\subseteq A$. Il disco $x^2+y^2<1$ è aperto; il disco $x^2+y^2\le 1$ è chiuso. In pratica, un insieme definito da disuguaglianze strette tra funzioni continue è aperto, mentre un insieme definito da disuguaglianze larghe o da uguaglianze è chiuso; questo criterio permette di classificare i domini trovati negli esercizi.

Insieme limitato e insieme compatto

$A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ è limitato se è contenuto in un disco centrato nell’origine, cioè se esiste $R>0$ con $\Vert P\Vert \le R$ per ogni $P\in A$. Un insieme chiuso e limitato si dice compatto. Il disco chiuso $x^2+y^2\le 4$ è compatto; il semipiano $y\ge 0$ è chiuso ma non limitato, quindi non è compatto. I compatti sono gli insiemi su cui si applica il teorema di Weierstrass, enunciato alla fine del capitolo, e su di essi si impostano i problemi di massimo e minimo assoluto.

Insieme connesso

$A\subseteq {\mathbb{R}}^2$ è connesso per archi se ogni coppia di punti di $A$ si può congiungere con una curva continua interamente contenuta in $A$. Un disco e una corona circolare sono connessi; l’unione di due dischi disgiunti non lo è. Su un insieme aperto e connesso una funzione continua che non si annulla in alcun punto ha segno costante, perciò la connessione interviene negli studi di segno: il segno si determina in un punto campione per ciascun pezzo connesso.

Funzione di due o più variabili

Una funzione di due variabili è una legge $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ che a ogni punto $(x,y)\in A$ associa un numero reale $z=f(x,y)$. Il grafico

è in generale una superficie dello spazio. Per $f(x,y)=x^2+y^2$ il grafico è un paraboloide; per $f(x,y)=2-x+y$ è un piano. Con $n\ge 3$ variabili la definizione è identica, ma il grafico vive in ${\mathbb{R}}^{n+1}$ e non si disegna; per visualizzare la funzione si usano gli insiemi di livello, introdotti nel paragrafo seguente.

Dominio naturale

Il dominio naturale di $f(x,y)$ è l’insieme dei punti del piano in cui l’espressione che definisce $f$ ha significato. Le condizioni sono le stesse di Analisi 1:

• denominatori diversi da zero;
• argomenti delle radici di indice pari maggiori o uguali a zero;
• argomenti dei logaritmi maggiori di zero;
• argomenti di $\arcsin$ e $\arccos$ compresi tra $-1$ e $1$.

Le condizioni da soddisfare contemporaneamente si raccolgono in un sistema. Il risultato è una regione del piano, descritta dalle disuguaglianze e riconosciuta geometricamente: semipiani, dischi, corone, regioni delimitate da parabole o iperboli. Del dominio si precisa poi se è aperto o chiuso, limitato, connesso, perché queste proprietà decidono quali teoremi si applicano.

Curva di livello

Per $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ e $k\in \mathbb{R}$, la curva di livello $k$ è l’insieme

È la proiezione sul piano $xy$ dei punti del grafico a quota $z=k$, come le linee di quota di una carta topografica. Al variare di $k$ le curve di livello descrivono la funzione senza il disegno tridimensionale: dove le curve si infittiscono la funzione varia rapidamente. Per alcuni valori di $k$ l’insieme $E_k$ può ridursi a un punto oppure essere vuoto, e lo studio di questi casi fa parte dell’esercizio.

Superficie di livello

Per una funzione di tre variabili $f:A\subseteq {\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$ l’insieme di livello $\{(x,y,z)\in A:f(x,y,z)=k\}$ è in generale una superficie dello spazio e si chiama superficie di livello. Per $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ le superfici di livello $k>0$ sono le sfere di centro l’origine e raggio $\sqrt{k}$. Poiché il grafico di una funzione di tre variabili non si disegna, le superfici di livello sono il suo principale strumento di visualizzazione.