Teoria

Campi vettoriali e teorema di Green

Campi vettoriali nel piano e nello spazio, lavoro lungo una curva, campi conservativi e potenziale, campi irrotazionali e domini semplicemente connessi, teorema di Green e calcolo di aree.

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Campi vettoriali
Lavoro e circuitazione

Campi vettoriali

Campo vettoriale

Un campo vettoriale su un aperto $A \subseteq R^{2}$ è una funzione $F : A \to R^{2}$ che a ogni punto associa un vettore,

F (x, y) = (F_{1} (x, y), F_{2} (x, y)),

dove $F_{1}$ e $F_{2}$ , le componenti del campo, sono funzioni scalari su $A$ . Nello spazio un campo vettoriale su $A \subseteq R^{3}$ ha tre componenti, $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ . Il campo si dice di classe $C^{k}$ se le sue componenti sono di classe $C^{k}$ . Un campo vettoriale è il modello matematico di una forza che dipende dal punto, come il campo gravitazionale o un campo elettrico; il disegno tipico mostra in ogni punto del piano una freccia con la direzione e la lunghezza del vettore associato.

Esempio

$F (x, y) = (- y, x)$ è un campo vettoriale di classe $C^{\infty}$ su $R^{2}$ . In ogni punto il vettore $(- y, x)$ è perpendicolare al vettore posizione $(x, y)$ , poiché il prodotto scalare $(- y) \cdot x + x \cdot y$ è nullo, quindi le frecce ruotano attorno all’origine in verso antiorario. Un esempio nello spazio è il campo $F (x, y, z) = (y z, x z, x y)$ , di classe $C^{\infty}$ su $R^{3}$ .

Osservazione

Ogni funzione scalare $f$ di classe $C^{1}$ su un aperto $A$ genera un campo vettoriale, il suo gradiente $\nabla f = (f_{x}, f_{y})$ . La domanda centrale di questo capitolo è quella inversa: dato un campo $F$ , stabilire se esiste una funzione scalare di cui $F$ è il gradiente. Per il gradiente si rimanda al capitolo sul calcolo differenziale.

Lavoro e circuitazione

L’integrale di linea di seconda specie di un campo $F$ lungo una curva orientata $γ$ si chiama lavoro di $F$ lungo $γ$ . Nel piano si scrive anche nella forma

\int_{γ} F_{1} d x + F_{2} d y,

che nel calcolo diventa $\int_{a}^{b} (F_{1} (r (t)) x^{'} (t) + F_{2} (r (t)) y^{'} (t)) d t$ . Se la curva è chiusa, cioè $r (a) = r (b)$ , il lavoro si chiama circuitazione di $F$ lungo $γ$ e si indica con

\oint_{γ} F \cdot d r .

Il nome viene dalla fisica: se $F$ è una forza, l’integrale misura il lavoro compiuto dalla forza su un punto materiale che percorre la curva. La circuitazione è lo strumento con cui si riconoscono i campi non conservativi, come mostra il teorema di caratterizzazione.

Calcolo di un lavoro

Lavoro di $F (x, y) = (y, x^{2})$ lungo il segmento da $(0, 0)$ a $(1, 1)$ , parametrizzato da $r (t) = (t, t)$ con $t \in [0, 1]$ . Poiché $r^{'} (t) = (1, 1)$ e $F (r (t)) = (t, t^{2})$ , il lavoro è

\int_{0}^{1} (t \cdot 1 + t^{2} \cdot 1) d t = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (campi conservativi e potenziale, indipendenza dal cammino, campi irrotazionali…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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