Successioni e serie di funzioni

Distinguendo i casi secondo la base $x$:

Per il limite notevole del logaritmo, $f_n(x)\to f(x)=x$ per ogni $x\ge 0$.

Il limite puntuale è $f(x)=x$. Poiché $|f_n(x)-x|=x\left(1-e^{-x/n}\right)\le 1-e^{-1/n}\to 0$, la convergenza è uniforme su $[0,1]$.

Il limite puntuale è $f=0$. Il massimo di $f_n$ si trova in $x=\frac{2}{n}$ e vale

quindi la convergenza è uniforme su $[0,+\infty )$.

Il limite puntuale è $f=0$ su $\mathbb{R}$. Il massimo del modulo si trova in $x=\pm \frac{1}{n}$ e vale $\frac{1}{2}$ per ogni $n$, quindi la convergenza non è uniforme su $\mathbb{R}$; su $[\delta ,+\infty )$ risulta $M_n=f_n(\delta )\to 0$, quindi la convergenza è uniforme.

Il limite puntuale vale $0$ in $x=0$ e $1$ per $0<x\le 1$. Poiché le $f_n$ sono continue e il limite è discontinuo, la convergenza non è uniforme su $[0,1]$.

${\sup }_{\mathbb{R}}|f_n|=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$, quindi $f_n\to 0$ uniformemente; $f_n^{\prime }(0)=\sqrt{n}\to +\infty$, quindi le derivate non convergono e il teorema di derivazione per successioni non si applica, perché la convergenza uniforme delle derivate non è verificata.

Poiché $0\le x^n{e}^x\le e{x}^n$ su $[0,1]$, l’integrale è compreso tra $0$ e $\frac{e}{n+1}$, quindi il limite vale $0$.

Su $[1,2]$ si ha $\left|\frac{e^{x/n}}{x}-\frac{1}{x}\right|\le e^{2/n}-1\to 0$, quindi la convergenza è uniforme e

${\int }_0^1{n}^{2}x(1-x{)}^{n}dx=\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}\to 1$. Il limite puntuale è $f=0$, quindi l’integrale del limite vale $0\ne 1$; poiché il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale darebbe l’uguaglianza, la convergenza non è uniforme.

Poiché $\left|\frac{\cos (nx)}{n^2+1}\right|\le \frac{1}{n^2+1}$ e la serie $\sum \frac{1}{n^2+1}$ converge, la serie converge totalmente su $\mathbb{R}$, quindi uniformemente, e la somma è una funzione continua.

Il massimo di $x^2{e}^{-nx}$ su $[0,+\infty )$ si trova in $x=\frac{2}{n}$ e vale $M_n=\frac{4}{n^2{e}^2}$; poiché $\sum \frac{4}{e^2{n}^2}$ converge, la serie converge totalmente su $[0,+\infty )$.

Per ogni $x$ la serie converge per il criterio di Leibniz e il resto soddisfa $|f(x)-s_N(x)|\le \frac{1}{2(N+1)+x^2}\le \frac{1}{2N+2}\to 0$, quindi la convergenza è uniforme su $\mathbb{R}$. Però ${\sup }_{\mathbb{R}}\left|\frac{(-1{)}^n}{2n+x^2}\right|=\frac{1}{2n}$ e $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, quindi la convergenza non è totale.

La serie converge totalmente su $\mathbb{R}$ con $M_n=\frac{1}{n^4}$ e la serie delle derivate converge totalmente con $M_n=\frac{1}{n^3}$, quindi per il teorema di derivazione termine a termine $f\in C^1(\mathbb{R})$ e