Teoria

Massimi e minimi liberi e vincolati

Dove cercare gli estremi di una funzione di più variabili, come classificarli con la matrice Hessiana, come trattare i compatti e i vincoli con i moltiplicatori di Lagrange.

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Massimi e minimi liberi
Punti critici e teorema di Fermat

Massimi e minimi liberi

Massimo e minimo, locale e assoluto

Sia $f : A \to R$ con $A \subseteq R^{2}$ e sia $(x_{0}, y_{0}) \in A$ .

$(x_{0}, y_{0})$ è punto di massimo assoluto se $f (x, y) \leq f (x_{0}, y_{0})$ per ogni $(x, y) \in A$ .
$(x_{0}, y_{0})$ è punto di massimo locale se esiste $r > 0$ tale che $f (x, y) \leq f (x_{0}, y_{0})$ per ogni $(x, y) \in A$ con $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} < r$ .

Con le disuguaglianze opposte si definiscono il minimo assoluto e il minimo locale; massimi e minimi si chiamano estremi. Le definizioni sono le stesse del caso di una variabile, con l’intorno circolare al posto dell’intervallo, e si estendono senza modifiche a $R^{n}$ . Un estremo assoluto è anche locale; il viceversa non è vero, perciò le due nozioni richiedono strumenti diversi: per gli estremi locali il calcolo differenziale, per quelli assoluti un confronto tra i valori nei candidati.

Esempio

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ha in $(0, 0)$ un punto di minimo assoluto, poiché $f (x, y) \geq 0 = f (0, 0)$ per ogni $(x, y) \in R^{2}$ . La stessa funzione non ha massimo, perché lungo l’asse $x$ si ha $f (x, 0) = x^{2} \to + \infty$ .

Punti critici e teorema di Fermat

Punto critico

Sia $f$ dotata di derivate parziali in $(x_{0}, y_{0})$ interno al dominio. Il punto $(x_{0}, y_{0})$ è critico (o stazionario) per $f$ se il gradiente si annulla, cioè se le due condizioni sono soddisfatte insieme:

{f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0 f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0

La ricerca dei punti critici è la risoluzione di questo sistema di due equazioni in due incognite. Nei punti critici il piano tangente al grafico è orizzontale.

Teorema di Fermat in più variabili

Sia $(x_{0}, y_{0})$ un punto di estremo locale per $f$ , interno al dominio, e supponiamo che $f$ abbia derivate parziali in $(x_{0}, y_{0})$ . Allora $(x_{0}, y_{0})$ è un punto critico:

\nabla f (x_{0}, y_{0}) = (0, 0) .

Il teorema dice dove cercare gli estremi liberi: tra i punti critici, oltre agli eventuali punti interni dove $f$ non è derivabile e ai punti del bordo del dominio. Per $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x$ il sistema $f_{x} = 2 x - 4 = 0$ , $f_{y} = 2 y = 0$ ha l’unica soluzione $(2, 0)$ , quindi ogni eventuale estremo libero è in $(2, 0)$ .

Dimostrazione

Sia $(x_{0}, y_{0})$ un punto di massimo locale (per il minimo si ragiona allo stesso modo). La funzione di una variabile $g (t) = f (t, y_{0})$ è definita in un intorno di $t = x_{0}$ , perché il punto è interno al dominio, ed è derivabile in $x_{0}$ con $g^{'} (x_{0}) = f_{x} (x_{0}, y_{0})$ . Poiché $f$ ha un massimo locale in $(x_{0}, y_{0})$ , la restrizione $g$ ha un massimo locale nel punto interno $x_{0}$ , quindi per il teorema di Fermat in una variabile $g^{'} (x_{0}) = 0$ , cioè $f_{x} (x_{0}, y_{0}) = 0$ . Applicando lo stesso argomento a $h (t) = f (x_{0}, t)$ si ottiene $f_{y} (x_{0}, y_{0}) = 0$ .

Punto di sella

Un punto critico che non è di estremo locale si chiama punto di sella. Il nome viene dal grafico di $f (x, y) = x^{2} - y^{2}$ : l’origine è critica, ma $f (x, 0) = x^{2} > 0$ e $f (0, y) = - y^{2} < 0$ per $x, y \neq = 0$ , quindi in ogni intorno dell’origine la funzione assume valori sia maggiori sia minori di $f (0, 0) = 0$ e l’origine non è un estremo. Il teorema di Fermat fornisce una condizione necessaria e non sufficiente, perciò dopo la ricerca dei punti critici serve uno strumento che li classifichi.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (la matrice hessiana e la classificazione dei punti critici, il caso degenere studio diretto del segno, estremi assoluti su insiemi compatti…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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