Teoria

Superfici, flussi e teoremi di Gauss e Stokes

Superfici parametriche regolari, vettore normale e area, integrali di superficie e flusso di un campo, divergenza e rotore, teorema della divergenza e teorema di Stokes.

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Superfici parametriche
Vettore normale e piano tangente
Area di una superficie
Integrali di superficie di funzioni scalari

Superfici parametriche

Superficie parametrica

Una superficie parametrica è un’applicazione $r : D \subseteq R^{2} \to R^{3}$ di classe $C^{1}$ ,

r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)), (u, v) \in D,

con $D$ chiuso e limitato, unione di un aperto connesso e della sua frontiera. L’immagine $Σ = r (D)$ si chiama sostegno della superficie. Una curva dipende da un parametro, perciò il suo sostegno è un oggetto a una dimensione; una superficie dipende da due parametri e il suo sostegno è un oggetto a due dimensioni nello spazio. Fissato $v = v_{0}$ , l’applicazione $u \mapsto r (u, v_{0})$ è una curva tracciata sulla superficie, detta linea coordinata; lo stesso con $u = u_{0}$ fissato.

Sfera e cilindro

La sfera di centro l’origine e raggio $R$ si parametrizza con le coordinate sferiche

r (φ, θ) = (R sin φ cos θ, R sin φ sin θ, R cos φ), (φ, θ) \in [0, π] \times [0, 2 π],

dove $φ$ è la colatitudine misurata dall’asse $z$ e $θ$ la longitudine. La superficie laterale del cilindro $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ con $0 \leq z \leq h$ si parametrizza con

r (θ, t) = (R cos θ, R sin θ, t), (θ, t) \in [0, 2 π] \times [0, h] .

Queste due parametrizzazioni compaiono nella maggior parte degli esercizi su aree e flussi.

Superficie regolare

I vettori derivati della parametrizzazione sono

r_{u} = (\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}), r_{v} = (\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}) .

La superficie è regolare se $r$ è iniettiva nei punti interni di $D$ e se

r_{u} \land r_{v} \neq = 0 nei punti interni di D .

Il vettore $r_{u}$ è tangente alla linea coordinata con $v$ fissato, il vettore $r_{v}$ a quella con $u$ fissato. La condizione $r_{u} \land r_{v} \neq = 0$ dice che i due vettori tangenti non sono paralleli, quindi in ogni punto interno la superficie possiede un piano tangente ben definito, senza punte né spigoli. Tutte le formule di questo capitolo, dall’area al flusso, sono costruite con il vettore $r_{u} \land r_{v}$ , perciò la regolarità è l’ipotesi presente in ogni enunciato.

Regolarità della sfera

Per la sfera di raggio $R$ si calcola $∥ r_{φ} \land r_{θ} ∥ = R^{2} sin φ$ , che si annulla solo per $φ = 0$ e $φ = π$ , cioè nei due poli, che sono immagini di punti della frontiera del rettangolo dei parametri. Nei punti interni la condizione di regolarità è verificata.

Vettore normale e piano tangente

Vettore normale

Sia $Σ$ una superficie regolare e $P_{0} = r (u_{0}, v_{0})$ un punto corrispondente a $(u_{0}, v_{0})$ interno a $D$ . Il vettore normale a $Σ$ in $P_{0}$ è

N (u_{0}, v_{0}) = r_{u} (u_{0}, v_{0}) \land r_{v} (u_{0}, v_{0}),

e il versore normale è $n = \frac{N}{∥ N ∥}$ . Il prodotto vettoriale è ortogonale a entrambi i fattori, quindi $N$ è ortogonale ai due vettori tangenti $r_{u}$ e $r_{v}$ , perciò è ortogonale alla superficie in $P_{0}$ . Il calcolo di $N$ è il primo passo di quasi ogni esercizio: dalla sua direzione si ottiene il piano tangente, dalla sua norma l’elemento d’area, dal suo verso l’orientazione nei flussi.

Piano tangente a una superficie

Il piano tangente a $Σ$ in $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ è il piano passante per $P_{0}$ e ortogonale a $N = (N_{1}, N_{2}, N_{3})$ , di equazione

N_{1} (x - x_{0}) + N_{2} (y - y_{0}) + N_{3} (z - z_{0}) = 0.

Il piano tangente contiene i vettori tangenti a tutte le curve tracciate sulla superficie e passanti per $P_{0}$ , quindi approssima la superficie vicino al punto come la retta tangente approssima il grafico di una funzione di una variabile.

Esempio

Per $r (u, v) = (u cos v, u sin v, 2 v)$ nel punto $(u_{0}, v_{0}) = (1, \frac{π}{2})$ si ha $P_{0} = (0, 1, π)$ , $r_{u} = (0, 1, 0)$ , $r_{v} = (- 1, 0, 2)$ , quindi

N = r_{u} \land r_{v} = (2, 0, 1),

e il piano tangente ha equazione $2 x + (z - π) = 0$ , cioè $2 x + z = π$ .

Superficie cartesiana

Il grafico di una funzione $f : D \subseteq R^{2} \to R$ di classe $C^{1}$ è una superficie, detta cartesiana, con la parametrizzazione

r (x, y) = (x, y, f (x, y)), (x, y) \in D .

Da $r_{x} = (1, 0, f_{x})$ e $r_{y} = (0, 1, f_{y})$ si ottiene

N = r_{x} \land r_{y} = (- f_{x}, - f_{y}, 1), ∥ N ∥ = 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} .

La terza componente di $N$ vale $1 > 0$ , quindi una superficie cartesiana è sempre regolare e il suo vettore normale punta verso l’alto. Il piano tangente che ne risulta, $z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x - x_{0}) + f_{y} (y - y_{0})$ , coincide con il piano tangente introdotto nel capitolo sul calcolo differenziale per le funzioni differenziabili.

Area di una superficie

L’area di una superficie regolare $Σ = r (D)$ è

Area (Σ) = \iint_{D} ∥ r_{u} \land r_{v} ∥ d u d v .

La definizione nasce dall’approssimazione della superficie con parallelogrammi: un rettangolo di lati $d u$ e $d v$ nel piano dei parametri viene trasformato, al primo ordine, nel parallelogramma di lati $r_{u} d u$ e $r_{v} d v$ , la cui area è $∥ r_{u} \land r_{v} ∥ d u d v$ , per la proprietà del prodotto vettoriale. La quantità $d σ = ∥ r_{u} \land r_{v} ∥ d u d v$ si chiama elemento d’area. Il valore dell’integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta per la superficie, per la formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi.

Area della sfera

Per la sfera di raggio $R$ si ha $∥ r_{φ} \land r_{θ} ∥ = R^{2} sin φ$ , quindi

Area = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} R^{2} sin φ d φ d θ = 2 π R^{2} [- cos φ]_{0}^{π} = 4 π R^{2} .

Area di una superficie cartesiana

Se $Σ$ è il grafico di $f : D \to R$ di classe $C^{1}$ , allora

Area (Σ) = \iint_{D} 1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2} d x d y .

La formula segue dalla definizione di area, poiché per la parametrizzazione cartesiana la norma del vettore normale è $1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$ . Il fattore sotto radice misura quanto il grafico è inclinato rispetto al piano $x y$ : dove $f$ è costante la radice vale $1$ e l’area coincide con quella della proiezione, dove il grafico è ripido la radice è grande.

Area di una superficie di rotazione

Sia $γ$ la curva regolare nel semipiano ${x \geq 0, y = 0}$ di equazioni $x = g (t)$ , $z = h (t)$ con $t \in [a, b]$ , $g \geq 0$ e $g, h$ di classe $C^{1}$ . La superficie ottenuta ruotando $γ$ di un giro completo attorno all’asse $z$ ha area

Area (Σ) = 2 π \int_{a}^{b} g (t) g^{'} (t)^{2} + h^{'} (t)^{2} d t .

L’area è l’integrale della lunghezza della circonferenza descritta da ciascun punto della curva, $2 π g (t)$ , rispetto all’elemento di lunghezza della curva. La formula si applica a coni, tronchi di cono, paraboloidi e calotte sferiche senza ripetere ogni volta il calcolo del prodotto vettoriale.

Dimostrazione

La superficie di rotazione si parametrizza con

r (t, θ) = (g (t) cos θ, g (t) sin θ, h (t)), (t, θ) \in [a, b] \times [0, 2 π] .

I vettori derivati sono $r_{t} = (g^{'} cos θ, g^{'} sin θ, h^{'})$ e $r_{θ} = (- g sin θ, g cos θ, 0)$ , quindi

r_{t} \land r_{θ} = (- g h^{'} cos θ, - g h^{'} sin θ, g g^{'}), ∥ r_{t} \land r_{θ} ∥ = g g^{'2} + h^{'2} .

L’integrando non dipende da $θ$ , perciò l’integrale doppio della definizione di area si riduce al prodotto di $2 π$ per l’integrale in $t$ , che è la formula dell’enunciato.

Integrali di superficie di funzioni scalari

Integrale di superficie

Sia $Σ = r (D)$ una superficie regolare e $f : Σ \to R$ una funzione continua. L’integrale di superficie di $f$ su $Σ$ è

\iint_{Σ} f d σ = \iint_{D} f (r (u, v)) ∥ r_{u} \land r_{v} ∥ d u d v .

Il calcolo segue sempre lo stesso schema: si sostituisce la parametrizzazione nella funzione, si moltiplica per la norma del vettore normale e si integra sul dominio dei parametri. Per $f = 1$ si ritrova l’area della superficie. Il valore non dipende dalla parametrizzazione. Se $f$ è la densità superficiale di una lamina a forma di $Σ$ , l’integrale è la massa della lamina; con lo stesso integrale si calcolano baricentri e momenti d’inerzia di superfici materiali.

Esempio

Per $Σ$ porzione del piano $z = 1 - x - y$ sopra il triangolo $T$ di vertici $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 1)$ si ha $d σ = 1 + 1 + 1 d x d y = 3 d x d y$ , quindi

\iint_{Σ} z d σ = 3 \iint_{T} (1 - x - y) d x d y = \frac{3}{6} .

La teoria continua con 4 altri paragrafi (superfici orientate e flusso, divergenza e rotore, il teorema della divergenza…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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