Esercizi da fare

Serie di Fourier

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Onda quadra di ampiezza 2

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di

f (x) = {- 2 2 se - π \leq x < 0 se 0 \leq x < π

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La funzione è dispari, quindi $a_{n} = 0$ e $b_{n} = \frac{4 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{nπ}$ :

f (x) \sim k = 0 \sum \infty \frac{8}{( 2 k + 1 ) π} sin ((2 k + 1) x) .

2. Funzione a gradino con media non nulla

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di

f (x) = {02 se - π \leq x < 0 se 0 \leq x < π

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$a_{0} = 2$ , $a_{n} = 0$ per $n \geq 1$ e $b_{n} = \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{nπ}$ :

f (x) \sim 1 + k = 0 \sum \infty \frac{4}{( 2 k + 1 ) π} sin ((2 k + 1) x) .

3. Serie di soli coseni di π − |x|

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = π - ∣ x ∣$ , $x \in [- π, π]$ .

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La funzione è pari, quindi $b_{n} = 0$ ; inoltre $a_{0} = π$ e $a_{n} = \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{π n ^{2}}$ :

π - ∣ x ∣ \sim \frac{π}{2} + k = 0 \sum \infty \frac{4}{π ( 2 k + 1 ) ^{2}} cos ((2 k + 1) x) .

4. Serie di Fourier di un polinomio trigonometrico

Determinare la serie di Fourier di $f (x) = sin^{3} x$ senza calcolare alcun integrale.

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Dalle formule di triplicazione, $sin^{3} x = \frac{3}{4} sin x - \frac{1}{4} sin (3 x)$ : la funzione è un polinomio trigonometrico, quindi la serie di Fourier coincide con questa espressione, con $b_{1} = \frac{3}{4}$ , $b_{3} = - \frac{1}{4}$ e tutti gli altri coefficienti nulli.

5. Dente di sega riscalato

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = \frac{x}{2}$ , $x \in [- π, π)$ .

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La funzione è dispari, quindi $a_{n} = 0$ e $b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ :

\frac{x}{2} \sim n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin (n x) .

6. Serie di Fourier di (x − 1)²

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = (x - 1)^{2}$ , $x \in [- π, π)$ .

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Sviluppando il quadrato, $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ ; per linearità $a_{0} = \frac{2 π ^{2}}{3} + 2$ , $a_{n} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ e $b_{n} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n}$ :

(x - 1)^{2} \sim \frac{π ^{2}}{3} + 1 + n = 1 \sum \infty (\frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} cos (n x) + \frac{4 ( - 1 ) ^{n}}{n} sin (n x)) .

7. Somma della serie nei punti di salto

Sia $f$ il prolungamento $2 π$ -periodico di

f (x) = {x^{2} 1 se - π \leq x < 0 se 0 \leq x < π

Determinare, senza calcolare i coefficienti, la somma della serie di Fourier di $f$ in $x = 0$ e in $x = π$ .

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La funzione è regolare a tratti, quindi nei punti di salto la serie converge alla media dei limiti laterali. In $x = 0$ : $f (0^{-}) = 0$ e $f (0^{+}) = 1$ , quindi la somma vale $\frac{1}{2}$ . In $x = π$ : $f (π^{-}) = 1$ e $f (π^{+}) = f ((- π)^{+}) = π^{2}$ , quindi la somma vale $\frac{1 + π ^{2}}{2}$ .

8. Convergenza della serie dell'esponenziale

Sia $f$ il prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = e^{x}$ , $x \in [- π, π)$ . Determinare, senza calcolare i coefficienti, la somma della serie di Fourier di $f$ in $x = 0$ e in $x = π$ .

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In $x = 0$ la funzione è continua, quindi la somma vale $e^{0} = 1$ . In $x = π$ il prolungamento salta: il limite sinistro è $e^{π}$ e il limite destro è $e^{- π}$ , quindi la somma vale

\frac{e ^{π} + e ^{- π}}{2} = cosh π .

9. Serie di Leibniz dall'onda quadra

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2 π$ -periodico di

f (x) = {- 1 1 se - π \leq x < 0 se 0 \leq x < π

e, valutandola in $x = \frac{π}{2}$ , calcolare la somma della serie numerica $k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1}$ .

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La serie è $k = 0 \sum \infty \frac{4}{( 2 k + 1 ) π} sin ((2 k + 1) x)$ ; in $x = \frac{π}{2}$ , dove $f$ è continua con valore $1$ , si ottiene $1 = \frac{4}{π} k = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1}$ , quindi la somma richiesta vale $\frac{π}{4}$ .

10. Parseval per la serie di Σ 1/n⁶

Sapendo che il prolungamento $2 π$ -periodico di $f (x) = x^{3} - π^{2} x$ , $x \in [- π, π]$ , ha serie di Fourier

x^{3} - π^{2} x \sim n = 1 \sum \infty \frac{12 ( - 1 ) ^{n}}{n ^{3}} sin (n x),

calcolare con l’uguaglianza di Parseval la somma della serie $n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{6}}$ .

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Il membro sinistro vale $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} (x^{3} - π^{2} x)^{2} d x = \frac{16 π ^{6}}{105}$ , e il membro destro vale $144 n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{6}}$ , quindi

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{6}} = \frac{16 π ^{6}}{105 \cdot 144} = \frac{π ^{6}}{945} .

11. Dente di sega di periodo 4

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $4$ -periodico di $f (x) = x$ , $x \in [- 2, 2)$ .

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Con $L = 2$ la funzione è dispari, quindi $a_{n} = 0$ e $b_{n} = \frac{4 ( - 1 ) ^{n + 1}}{nπ}$ :

x \sim n = 1 \sum \infty \frac{4 ( - 1 ) ^{n + 1}}{nπ} sin (\frac{nπ x}{2}) .

12. Valore assoluto su periodo 2

Determinare la serie di Fourier del prolungamento $2$ -periodico di $f (x) = ∣ x ∣$ , $x \in [- 1, 1]$ , e stabilire se la convergenza è uniforme su $R$ .

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Con $L = 1$ la funzione è pari, quindi $b_{n} = 0$ ; inoltre $a_{0} = 1$ e $a_{n} = \frac{2 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{n ^{2} π ^{2}}$ :

∣ x ∣ \sim \frac{1}{2} - k = 0 \sum \infty \frac{4}{( 2 k + 1 ) ^{2} π ^{2}} cos ((2 k + 1) π x) .

Il prolungamento periodico è continuo, perché $f (- 1) = f (1) = 1$ , ed è regolare a tratti, quindi la serie converge uniformemente a $f$ su $R$ .