Esercizi da fare

Superfici, flussi e teoremi di Gauss e Stokes

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Normale e piano tangente a una superficie parametrica

Determinare il vettore normale e il piano tangente alla superficie

r (u, v) = (u^{2}, v, uv)

nel punto corrispondente a $(u_{0}, v_{0}) = (1, 1)$ .

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Da $r_{u} (1, 1) = (2, 0, 1)$ e $r_{v} (1, 1) = (0, 1, 1)$ si ottiene $N = (- 1, - 2, 2)$ ; il piano tangente in $P_{0} = (1, 1, 1)$ ha equazione

x + 2 y - 2 z = 1.

2. Piano tangente a una superficie cartesiana

Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di

f (x, y) = x e^{y}

nel punto di coordinate $(x_{0}, y_{0}) = (2, 0)$ .

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Poiché $f (2, 0) = 2$ , $f_{x} (2, 0) = 1$ e $f_{y} (2, 0) = 2$ , il piano tangente ha equazione

z = x + 2 y .

3. Area di una porzione di piano

Calcolare l’area della porzione del piano

z = 4 - 2 x - 2 y

contenuta nel primo ottante ( $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $z \geq 0$ ).

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La proiezione sul piano $x y$ è il triangolo $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $x + y \leq 2$ , di area $2$ ; l’integrando è $1 + 4 + 4 = 3$ , quindi

Area = 3 \cdot 2 = 6.

4. Area di una calotta sferica

Calcolare l’area della porzione della sfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ con $z \geq \frac{3}{2}$ .

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In coordinate sferiche la condizione diventa $cos φ \geq \frac{1}{2}$ , cioè $φ \in [0, \frac{π}{3}]$ , quindi

Area = 2 π \cdot 9 \int_{0}^{π /3} sin φ d φ = 9 π .

5. Area di un paraboloide di rotazione

Calcolare l’area della porzione del paraboloide

z = x^{2} + y^{2}

con $z \leq 4$ .

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In coordinate polari

Area = 2 π \int_{0}^{2} 1 + 4 ρ^{2} ρ d ρ = \frac{π}{6} (1717 - 1) .

6. Integrale di superficie sulla sfera

Calcolare

\iint_{Σ} z^{2} d σ,

dove $Σ$ è la sfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

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Per simmetria gli integrali di $x^{2}$ , $y^{2}$ e $z^{2}$ sulla sfera coincidono, quindi l’integrale è un terzo dell’integrale di $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , cioè un terzo dell’area:

\iint_{Σ} z^{2} d σ = \frac{4 π}{3} .

7. Integrale di superficie sul cilindro

Calcolare

\iint_{Σ} y^{2} d σ,

dove $Σ$ è la superficie laterale del cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ con $0 \leq z \leq 2$ .

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Con la parametrizzazione $(cos θ, sin θ, z)$ l’elemento d’area è $d σ = d θ d z$ e

\iint_{Σ} y^{2} d σ = \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 π} sin^{2} θ d θ d z = 2 π .

8. Calcolo di divergenza e rotore

Calcolare divergenza e rotore del campo

F (x, y, z) = (x^{2} z, x y z, - z^{2} y)

nel punto $(1, 1, 1)$ .

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Si ha $div F = 2 x z + x z - 2 z y = 3 x z - 2 y z$ e $rot F = (- z^{2} - x y, x^{2}, y z)$ , quindi nel punto $(1, 1, 1)$

div F = 1, rot F = (- 2, 1, 1) .

9. Campo solenoidale con parametro

Determinare $a \in R$ in modo che il campo

F (x, y, z) = (2 x y, a y^{2}, 6 y z)

sia solenoidale.

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Poiché $div F = 2 y + 2 a y + 6 y = (8 + 2 a) y$ , la divergenza è identicamente nulla se e solo se

a = - 4.

10. Flusso attraverso un disco

Calcolare il flusso del campo

F (x, y, z) = (0, 0, x^{2} + y^{2})

attraverso il disco $x^{2} + y^{2} \leq 4$ del piano $z = 3$ , orientato verso l’alto.

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Sul disco $F \cdot n = x^{2} + y^{2}$ , quindi in coordinate polari

Φ = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} ρ^{3} d ρ d θ = 8 π .

11. Flusso dalla sfera con il teorema della divergenza

Calcolare il flusso del campo

F (x, y, z) = (x^{3}, y^{3}, z^{3})

uscente dalla sfera $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

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Si ha $div F = 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ , quindi in coordinate sferiche

Φ = 3 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r^{2} sin φ d r d φ d θ = \frac{12 π}{5} .

12. Flusso dal cubo con il teorema della divergenza

Calcolare il flusso del campo

F (x, y, z) = (x^{2}, y^{2}, z^{2})

uscente dal cubo $[0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ .

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Poiché $div F = 2 (x + y + z)$ e ciascuna variabile ha integrale $\frac{1}{2}$ sul cubo,

Φ = 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 3.

13. Circuitazione con il teorema di Stokes

Calcolare con il teorema di Stokes la circuitazione del campo

F (x, y, z) = (2 y, 3 x, z^{2})

lungo la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 9$ del piano $z = 0$ , percorsa in verso antiorario vista dall’alto.

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Si ha $rot F = (0, 0, 1)$ ; scegliendo come superficie il disco $x^{2} + y^{2} \leq 9$ con normale $k$ ,

\oint_{γ} F \cdot d r = Area = 9 π .