Teoria

Calcolo differenziale in più variabili

Derivate parziali e gradiente, differenziabilità e piano tangente, derivate direzionali e formula del gradiente, regola della catena, derivate seconde e formula di Taylor al secondo ordine.

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Derivate parziali e gradiente
Differenziabilità
Piano tangente
Il teorema del differenziale totale

Derivate parziali e gradiente

Derivata parziale

$f : A \subseteq R^{2} \to R$ , $(x_{0}, y_{0})$ interno ad $A$ . La derivata parziale di $f$ rispetto a $x$ in $(x_{0}, y_{0})$ è

\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = t \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + t , y _{0} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{t},

se il limite esiste finito; la derivata parziale rispetto a $y$ si definisce allo stesso modo, con l’incremento sulla seconda variabile. Si scrive anche $f_{x} (x_{0}, y_{0})$ e $f_{y} (x_{0}, y_{0})$ . Se entrambe esistono, $f$ si dice derivabile in $(x_{0}, y_{0})$ . Nel rapporto incrementale di $f_{x}$ la variabile $y$ resta ferma al valore $y_{0}$ , quindi nel calcolo si deriva rispetto a $x$ trattando $y$ come una costante, con le regole di derivazione di una variabile.

Esempio

$f (x, y) = x^{2} y^{3} + sin x$ . Derivando rispetto a $x$ con $y$ costante si ottiene $f_{x} = 2 x y^{3} + cos x$ ; derivando rispetto a $y$ con $x$ costante si ottiene $f_{y} = 3 x^{2} y^{2}$ , perché $sin x$ è costante rispetto a $y$ e la sua derivata è nulla.

Gradiente

Se $f$ è derivabile in $(x_{0}, y_{0})$ , il gradiente di $f$ in $(x_{0}, y_{0})$ è il vettore delle derivate parziali

\nabla f (x_{0}, y_{0}) = (f_{x} (x_{0}, y_{0}), f_{y} (x_{0}, y_{0})) .

Per una funzione di $n$ variabili il gradiente ha $n$ componenti. Il gradiente compare nel differenziale, nella formula della derivata direzionale e nella ricerca dei punti critici, perciò quasi ogni esercizio di questo capitolo inizia con il suo calcolo. Per $f (x, y) = x^{2} y^{3} + sin x$ si ha $\nabla f (x, y) = (2 x y^{3} + cos x, 3 x^{2} y^{2})$ .

Differenziabilità

Funzione differenziabile

$f : A \to R$ , $(x_{0}, y_{0})$ interno ad $A$ . $f$ è differenziabile in $(x_{0}, y_{0})$ se è derivabile in $(x_{0}, y_{0})$ e

(h, k) \to (0, 0) lim \frac{f ( x _{0} + h , y _{0} + k ) - f ( x _{0} , y _{0} ) - f _{x} ( x _{0} , y _{0} ) h - f _{y} ( x _{0} , y _{0} ) k}{h ^{2} + k ^{2}} = 0.

L’applicazione lineare $(h, k) \mapsto f_{x} (x_{0}, y_{0}) h + f_{y} (x_{0}, y_{0}) k$ si chiama differenziale di $f$ in $(x_{0}, y_{0})$ . La condizione dice che l’incremento di $f$ è approssimato da una funzione lineare degli incrementi $h$ e $k$ , con un errore che è $o (h^{2} + k^{2})$ :

f (x_{0} + h, y_{0} + k) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} h + f_{y} k + o (h^{2} + k^{2}) .

Negli esercizi la differenziabilità in un punto si verifica calcolando prima le derivate parziali con la definizione e poi questo limite.

Osservazione

In una variabile derivabilità e differenziabilità sono equivalenti. In due variabili l’esistenza delle derivate parziali è una condizione più debole, poiché le derivate parziali controllano $f$ soltanto lungo le due rette per $(x_{0}, y_{0})$ parallele agli assi, mentre il limite della differenziabilità controlla l’incremento lungo ogni modo di avvicinarsi al punto. Per questo in più variabili la nozione centrale del calcolo differenziale è la differenziabilità.

La differenziabilità implica la continuità

Se $f$ è differenziabile in $(x_{0}, y_{0})$ , allora $f$ è continua in $(x_{0}, y_{0})$ . Il teorema si usa spesso nella forma seguente: se $f$ non è continua in un punto, allora $f$ non è differenziabile in quel punto.

Dimostrazione

Per la differenziabilità, per $(h, k) \to (0, 0)$ si ha

f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0}) = f_{x} h + f_{y} k + o (h^{2} + k^{2}) .

I termini $f_{x} h$ e $f_{y} k$ tendono a $0$ perché prodotti di una costante per un infinitesimo; il resto tende a $0$ perché rapporto fra un $o (h^{2} + k^{2})$ e $1$ . Quindi $f (x_{0} + h, y_{0} + k) \to f (x_{0}, y_{0})$ , e questa è la continuità di $f$ in $(x_{0}, y_{0})$ .

Attenzione

L’esistenza delle derivate parziali in un punto non garantisce la continuità in quel punto. La funzione

f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 (x, y) \neq = (0, 0) (x, y) = (0, 0)

è nulla sugli assi, quindi $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0$ ed entrambe le derivate parziali esistono. Lungo la retta $y = x$ si ha $f (t, t) = \frac{t ^{2}}{2 t ^{2}} = \frac{1}{2}$ per ogni $t \neq = 0$ , mentre lungo l’asse $x$ la funzione è nulla, quindi il limite di $f$ in $(0, 0)$ non esiste e $f$ non è continua nell’origine. Per il teorema precedente $f$ non è differenziabile in $(0, 0)$ .

Piano tangente

Piano tangente al grafico

Se $f$ è differenziabile in $(x_{0}, y_{0})$ , il piano tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$ è il piano di equazione

z = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) .

La differenziabilità dice che la differenza fra $f (x, y)$ e la quota del piano è $o$ della distanza di $(x, y)$ da $(x_{0}, y_{0})$ , quindi il piano approssima il grafico al primo ordine, come la retta tangente approssima il grafico di una funzione di una variabile. L’equazione acquista questo significato geometrico soltanto nei punti di differenziabilità.

Esempio

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ in $(1, 1)$ . Si ha $f (1, 1) = 2$ , $f_{x} = 2 x$ e $f_{y} = 2 y$ , quindi $f_{x} (1, 1) = f_{y} (1, 1) = 2$ . Il piano tangente ha equazione

z = 2 + 2 (x - 1) + 2 (y - 1) = 2 x + 2 y - 2.

Le derivate parziali sono continue su tutto $R^{2}$ , perciò la differenziabilità in $(1, 1)$ segue dal teorema del differenziale totale, enunciato nella sezione seguente.

Il teorema del differenziale totale

La verifica della differenziabilità con la definizione richiede un limite in due variabili; il teorema seguente fornisce una condizione sufficiente molto più rapida.

Teorema del differenziale totale

Se le derivate parziali di $f$ esistono in un intorno di $(x_{0}, y_{0})$ e sono continue in $(x_{0}, y_{0})$ , allora $f$ è differenziabile in $(x_{0}, y_{0})$ . In particolare una funzione di classe $C^{1} (A)$ , cioè con derivate parziali continue in tutto l’aperto $A$ , è differenziabile in ogni punto di $A$ . Con questo teorema la differenziabilità delle funzioni assegnate da una formula si riconosce dal calcolo delle derivate parziali: per $f (x, y) = e^{x y} + x^{2}$ si ha $f_{x} = y e^{x y} + 2 x$ e $f_{y} = x e^{x y}$ , continue su $R^{2}$ perché composte di funzioni continue, quindi $f$ è differenziabile in ogni punto. La verifica con la definizione resta necessaria nei punti in cui le derivate parziali non sono continue, tipicamente i punti di raccordo delle funzioni definite a tratti.

Dimostrazione

L’incremento di $f$ si spezza in due incrementi lungo le direzioni degli assi:

f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0}) = [f (x_{0} + h, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0} + k)] + [f (x_{0}, y_{0} + k) - f (x_{0}, y_{0})] .

La funzione $t \mapsto f (t, y_{0} + k)$ è derivabile nell’intervallo di estremi $x_{0}$ e $x_{0} + h$ , perché in un intorno di $(x_{0}, y_{0})$ esiste $f_{x}$ ; per il teorema di Lagrange esiste quindi $ξ$ fra $x_{0}$ e $x_{0} + h$ tale che il primo incremento vale $f_{x} (ξ, y_{0} + k) h$ . Per lo stesso motivo esiste $η$ fra $y_{0}$ e $y_{0} + k$ tale che il secondo incremento vale $f_{y} (x_{0}, η) k$ . Il numeratore del limite della differenziabilità diventa perciò

[f_{x} (ξ, y_{0} + k) - f_{x} (x_{0}, y_{0})] h + [f_{y} (x_{0}, η) - f_{y} (x_{0}, y_{0})] k .

Poiché $\frac{∣ h ∣}{h ^{2} + k ^{2}} \leq 1$ e $\frac{∣ k ∣}{h ^{2} + k ^{2}} \leq 1$ , il modulo del rapporto della differenziabilità è maggiorato da

f_{x} (ξ, y_{0} + k) - f_{x} (x_{0}, y_{0}) + f_{y} (x_{0}, η) - f_{y} (x_{0}, y_{0}) .

Per $(h, k) \to (0, 0)$ i punti $(ξ, y_{0} + k)$ e $(x_{0}, η)$ tendono a $(x_{0}, y_{0})$ , quindi per la continuità di $f_{x}$ e $f_{y}$ in $(x_{0}, y_{0})$ entrambi gli addendi tendono a $0$ . Per il teorema del confronto il rapporto tende a $0$ , perciò $f$ è differenziabile in $(x_{0}, y_{0})$ .

Osservazione

La condizione del teorema è sufficiente e il viceversa è falso: esistono funzioni differenziabili in un punto con derivate parziali discontinue in quel punto, come $f (x, y) = (x^{2} + y^{2}) sin \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}}$ prolungata con $f (0, 0) = 0$ , che è differenziabile nell’origine con differenziale nullo. Lo schema delle implicazioni fra le nozioni di questo capitolo è quindi

C^{1} ⟹ differenziabile ⟹ continua, differenziabile ⟹ derivabile,

e nessuna delle frecce si inverte, come mostrano i controesempi di questo capitolo.

La teoria continua con 4 altri paragrafi (derivate direzionali e formula del gradiente, regola della catena, derivate seconde e matrice hessiana…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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