Teoria

Serie di Fourier

Come una funzione periodica si sviluppa in serie di seni e coseni, come si calcolano i coefficienti, in quali punti e in che senso la serie converge, e come l'uguaglianza di Parseval lega la funzione ai suoi coefficienti.

In questa pagina

Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici
Ortogonalità del sistema trigonometrico

Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici

Funzione periodica

$f : R \to R$ è periodica di periodo $T > 0$ se $f (x + T) = f (x)$ per ogni $x \in R$ . Una funzione definita soltanto su $[- π, π)$ si estende in modo unico a una funzione $2 π$ -periodica su $R$ , il prolungamento periodico, ripetendo i valori su ogni intervallo $[π, 3 π)$ , $[- 3 π, - π)$ e così via. Per una funzione $T$ -periodica integrabile l’integrale su un periodo non dipende dal punto di partenza:

\int_{a}^{a + T} f (x) d x = \int_{0}^{T} f (x) d x per ogni a \in R .

Le funzioni periodiche descrivono fenomeni che si ripetono, come oscillazioni, onde e segnali. La teoria si sviluppa per il periodo $2 π$ , il periodo comune di $sin x$ e $cos x$ , e si trasporta a un periodo qualsiasi con un cambio di variabile.

Polinomio trigonometrico

Un polinomio trigonometrico di grado $N$ è una funzione della forma

s_{N} (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum N (a_{n} cos (n x) + b_{n} sin (n x)),

con $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{N}, b_{1}, \dots, b_{N} \in R$ . Ogni polinomio trigonometrico è $2 π$ -periodico e derivabile infinite volte, perché somma finita di seni e coseni. I polinomi trigonometrici sono i mattoni della teoria: la serie di Fourier rappresenta una funzione periodica come limite di polinomi trigonometrici, così come la serie di Taylor rappresenta una funzione regolare come limite di polinomi algebrici.

Ortogonalità del sistema trigonometrico

Per ogni coppia di interi $n, m \geq 1$ valgono le relazioni

\int_{- π}^{π} cos (n x) cos (m x) d x = {0 π se n \neq = m se n = m \int_{- π}^{π} sin (n x) sin (m x) d x = {0 π se n \neq = m se n = m \int_{- π}^{π} sin (n x) cos (m x) d x = 0, \int_{- π}^{π} cos (n x) d x = \int_{- π}^{π} sin (n x) d x = 0.

Su $[- π, π]$ il prodotto di due funzioni diverse del sistema $1, cos x, sin x, cos (2 x), sin (2 x), \dots$ ha integrale nullo. Questa proprietà permette di isolare un coefficiente alla volta nello sviluppo di una funzione, ed è il fondamento delle formule per i coefficienti di Fourier.

Dimostrazione

Per ogni intero $k \neq = 0$ si ha $\int_{- π}^{π} cos (k x) d x = [\frac{sin ( k x )}{k}]_{- π}^{π} = 0$ , poiché $sin (k π) = 0$ ; l’integrale di $sin (k x)$ è nullo perché la funzione è dispari sull’intervallo simmetrico. Per i prodotti si applicano le formule di Werner:

cos (n x) cos (m x) = \frac{cos ( ( n - m ) x ) + cos ( ( n + m ) x )}{2} .

Se $n \neq = m$ entrambi gli addendi sono coseni di multipli interi non nulli di $x$ , quindi i loro integrali sono nulli. Se $n = m$ il primo addendo è $cos 0 = 1$ , perciò

\int_{- π}^{π} cos^{2} (n x) d x = \int_{- π}^{π} \frac{1 + cos ( 2 n x )}{2} d x = π .

Per i seni si usa $sin (n x) sin (m x) = \frac{cos ( ( n - m ) x ) - cos ( ( n + m ) x )}{2}$ e si ragiona allo stesso modo. Infine $sin (n x) cos (m x)$ è una funzione dispari, prodotto di una dispari e di una pari, quindi il suo integrale su $[- π, π]$ è nullo.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (coefficienti e serie di fourier, funzioni pari e funzioni dispari, convergenza puntuale…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

Sblocca ora →