Teoria

Integrali doppi e tripli

Come si integra una funzione di due o tre variabili, come un integrale multiplo si riduce a integrali semplici, come i cambiamenti di variabile semplificano il dominio, e come si calcolano aree, volumi, masse e baricentri.

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L’integrale doppio su rettangoli
Domini normali e formule di riduzione
Proprietà dell’integrale doppio
Cambiamento di variabili

L’integrale doppio su rettangoli

Integrale doppio su un rettangolo

Sia $R = [a, b] \times [c, d]$ un rettangolo e sia $f : R \to R$ limitata. Si suddivide $R$ in sottorettangoli $R_{ij}$ con una griglia di punti, si sceglie un punto $(ξ_{ij}, η_{ij})$ in ciascun $R_{ij}$ e si forma la somma di Riemann

S = i, j \sum f (ξ_{ij}, η_{ij}) Area (R_{ij}) .

Se, al tendere a $0$ delle dimensioni dei sottorettangoli, le somme tendono a uno stesso numero per ogni scelta dei punti, $f$ è integrabile su $R$ e quel numero è l’integrale doppio

\iint_{R} f (x, y) d x d y .

Ogni funzione continua su $R$ è integrabile, e l’integrabilità si conserva se $f$ è continua salvo che su un numero finito di curve regolari. Per $f \geq 0$ l’integrale è il volume del solido compreso tra il rettangolo $R$ e il grafico di $f$ , così come in una variabile l’integrale di una funzione positiva è l’area sotto il grafico.

Teorema di riduzione (Fubini) sui rettangoli

Se $f$ è continua su $R = [a, b] \times [c, d]$ , allora

\iint_{R} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y .

Il teorema riduce l’integrale doppio a due integrali semplici in successione: nell’integrale interno una variabile è fissata e si integra rispetto all’altra, poi il risultato, che è una funzione di una sola variabile, si integra a sua volta. La dimostrazione si ottiene raggruppando le somme di Riemann per colonne o per righe e si rimanda ai testi di riferimento. I due ordini di integrazione danno lo stesso valore, quindi si sceglie l’ordine in cui i calcoli sono più semplici.

Riduzione su un rettangolo

\iint_{[0, 1] \times [0, 2]} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{0}^{2} x y^{2} d y) d x = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{8}{3} d x = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{3}

Nell’integrale interno $x$ è una costante, perciò esce dal segno di integrale; resta $\int_{0}^{2} y^{2} d y = \frac{8}{3}$ .

Funzioni a variabili separate

Se $f (x, y) = g (x) h (y)$ con $g$ continua su $[a, b]$ e $h$ continua su $[c, d]$ , allora

\iint_{[a, b] \times [c, d]} g (x) h (y) d x d y = (\int_{a}^{b} g (x) d x) (\int_{c}^{d} h (y) d y) .

Segue dal teorema di Fubini, poiché nell’integrale interno il fattore che non dipende dalla variabile di integrazione esce dal segno di integrale. Il risultato vale soltanto sui rettangoli: su un dominio generico gli estremi dell’integrale interno dipendono dall’altra variabile e la fattorizzazione non è possibile.

Domini normali e formule di riduzione

Dominio normale

Un insieme $D \subseteq R^{2}$ è un dominio normale rispetto all’asse $x$ se esistono due funzioni continue $g_{1}, g_{2} : [a, b] \to R$ con $g_{1} \leq g_{2}$ tali che

D = {(x, y) : {a \leq x \leq b g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)} .

Il dominio è normale rispetto all’asse $y$ se si descrive nello stesso modo scambiando i ruoli: $c \leq y \leq d$ e $h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)$ . Un dominio normale rispetto a $x$ si attraversa con segmenti verticali che entrano dal grafico di $g_{1}$ ed escono dal grafico di $g_{2}$ ; questa descrizione fornisce direttamente gli estremi di integrazione. Il cerchio e il triangolo sono normali rispetto a entrambi gli assi; molte regioni che non sono normali si spezzano nell’unione di domini normali.

Formule di riduzione sui domini normali

Sia $f$ continua su $D$ .

Se $D$ è normale rispetto all’asse $x$ , con $a \leq x \leq b$ e $g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)$ , allora

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{a}^{b} (\int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y) d x .

Se $D$ è normale rispetto all’asse $y$ , con $c \leq y \leq d$ e $h_{1} (y) \leq x \leq h_{2} (y)$ , allora

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int_{c}^{d} (\int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f (x, y) d x) d y .

La variabile esterna percorre un intervallo fisso, mentre gli estremi dell’integrale interno sono funzioni della variabile esterna. Il primo passo di ogni esercizio è quindi la descrizione del dominio in forma normale, con un disegno della regione per leggere le funzioni $g_{1}$ e $g_{2}$ .

Dominio tra una parabola e una retta

Sia $D$ la regione compresa tra la parabola $y = x^{2}$ e la retta $y = x$ . Le due curve si intersecano dove $x^{2} = x$ , cioè in $x = 0$ e $x = 1$ , e per $0 \leq x \leq 1$ si ha $x^{2} \leq x$ . Il dominio è normale rispetto all’asse $x$ :

D = {(x, y) : {0 \leq x \leq 1 x^{2} \leq y \leq x}, \iint_{D} f d x d y = \int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{x} f (x, y) d y) d x .

Scambio dell'ordine di integrazione

Quando un dominio è normale rispetto a entrambi gli assi, le due formule di riduzione danno lo stesso valore, perciò l’ordine di integrazione si può scambiare riscrivendo il dominio nell’altra forma. Lo scambio è utile quando l’integrale interno assegnato non si calcola in forma elementare: la funzione $e^{y^{2}}$ non ha primitiva elementare rispetto a $y$ , quindi l’integrale $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x$ si calcola integrando prima rispetto a $x$ . Per scambiare l’ordine si disegna la regione descritta dagli estremi assegnati e la si descrive di nuovo rispetto all’altro asse; gli estremi non si scambiano in modo meccanico.

Proprietà dell’integrale doppio

Linearità, additività, monotonia

Siano $f$ e $g$ integrabili su $D$ e siano $α, β \in R$ .

Linearità: $\iint_{D} (α f + β g) d x d y = α \iint_{D} f d x d y + β \iint_{D} g d x d y$ .
Additività sul dominio: se $D = D_{1} \cup D_{2}$ con $D_{1}$ e $D_{2}$ privi di punti interni comuni, allora $\iint_{D} f d x d y = \iint_{D_{1}} f d x d y + \iint_{D_{2}} f d x d y$ .
Monotonia: se $f \leq g$ su $D$ , allora $\iint_{D} f d x d y \leq \iint_{D} g d x d y$ ; in particolare $\iint_{D} f d x d y \leq \iint_{D} ∣ f ∣ d x d y$ .

Le proprietà sono le stesse dell’integrale in una variabile e si dimostrano allo stesso modo sulle somme di Riemann. La linearità permette di integrare una somma termine a termine; l’additività permette di spezzare una regione non normale nell’unione di domini normali e di integrare su ciascun pezzo; la monotonia fornisce stime quando il calcolo esplicito non è possibile.

Cambiamento di variabili

Cambiamento di variabili e Jacobiano

Sia $Φ (u, v) = (x (u, v), y (u, v))$ una trasformazione di classe $C^{1}$ , iniettiva all’interno di un dominio $D^{'}$ del piano $uv$ , con immagine $D = Φ (D^{'})$ , e sia

J (u, v) = det \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} \neq = 0

all’interno di $D^{'}$ . Allora, per ogni $f$ continua su $D$ ,

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (x (u, v), y (u, v)) ∣ J (u, v) ∣ d u d v .

Il determinante $J$ si chiama Jacobiano della trasformazione e il suo modulo misura come la trasformazione dilata le aree: un rettangolino di area $d u d v$ nel piano $uv$ ha per immagine una regione di area circa $∣ J ∣ d u d v$ . Il teorema è l’analogo in due variabili dell’integrazione per sostituzione e si usa quando nuove variabili rendono il dominio un rettangolo o semplificano la funzione: un dominio delimitato dalle curve $x y = 1$ , $x y = 4$ , $y = x$ , $y = 4 x$ diventa il quadrato $[1, 4] \times [1, 4]$ nelle variabili $u = x y$ e $v = \frac{y}{x}$ . La dimostrazione si rimanda ai testi di riferimento.

Osservazione

Se le nuove variabili sono assegnate nella forma $u = u (x, y)$ , $v = v (x, y)$ , il Jacobiano della trasformazione inversa si ottiene senza invertire le formule, poiché i due determinanti sono reciproci. Vale infatti

det \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = (det \frac{\partial ( u , v )}{\partial ( x , y )})^{- 1},

dove ciascuna scrittura indica il determinante della matrice delle derivate parziali indicate. Si calcola quindi il determinante più comodo e, se serve, se ne prende il reciproco.

Trasformazione lineare per un'ellisse

Per integrare sull’ellisse $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \leq 1$ si pone $x = a u$ , $y = b v$ . La trasformazione porta il cerchio unitario $u^{2} + v^{2} \leq 1$ sull’ellisse e il suo Jacobiano è

J = det (a 0 0 b) = ab,

quindi $d x d y = ab d u d v$ . L’area dell’ellisse risulta $ab \cdot π = π ab$ , poiché il cerchio unitario ha area $π$ .

Coordinate polari

La trasformazione

{x = ρ cos θ y = ρ sin θ ρ \geq 0, θ \in [0, 2 π)

ha Jacobiano

J = det (cos θ sin θ - ρ sin θ ρ cos θ) = ρ,

quindi

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (ρ cos θ, ρ sin θ) ρ d ρ d θ .

Le coordinate polari convengono quando il dominio è un cerchio, una corona o un settore circolare, oppure quando la funzione contiene la quantità $x^{2} + y^{2}$ , poiché $x^{2} + y^{2} = ρ^{2}$ . Un cerchio di centro l’origine e raggio $R$ diventa il rettangolo $0 \leq ρ \leq R$ , $0 \leq θ \leq 2 π$ .

Integrale su un cerchio

\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{2 π} (\int_{0}^{1} e^{- ρ^{2}} ρ d ρ) d θ = 2 π [- \frac{e ^{- ρ^{2}}}{2}]_{0}^{1} = π (1 - \frac{1}{e})

In coordinate cartesiane la funzione $e^{- x^{2}}$ non ha primitiva elementare; in coordinate polari il fattore $ρ$ portato dal Jacobiano rende immediata l’integrazione, poiché $ρ e^{- ρ^{2}}$ ha primitiva $- \frac{e ^{- ρ^{2}}}{2}$ .

Attenzione

L’elemento d’area in coordinate polari è $ρ d ρ d θ$ , non $d ρ d θ$ . Senza il fattore $ρ$ l’area del cerchio di raggio $R$ risulterebbe $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} d ρ d θ = 2 π R$ invece di $π R^{2}$ .

La teoria continua con 4 altri paragrafi (simmetrie, integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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