Teoria

Curve e integrali di linea

Curve parametriche nel piano e nello spazio, regolarità e vettore tangente, lunghezza e ascissa curvilinea, integrali di linea di prima e di seconda specie con le applicazioni a massa, baricentro e lavoro.

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Curve parametriche
Curve regolari e vettore tangente

Curve parametriche

Curva parametrica e sostegno

Una curva parametrica è una funzione continua $γ : [a, b] \to R^{2}$ (curva piana) oppure $γ : [a, b] \to R^{3}$ (curva nello spazio). In componenti si scrive $γ (t) = (x (t), y (t))$ oppure $γ (t) = (x (t), y (t), z (t))$ ; la variabile $t$ si chiama parametro. Il sostegno di $γ$ è l’immagine $γ ([a, b])$ , cioè l’insieme dei punti percorsi. La curva è la funzione, non l’insieme di punti: la parametrizzazione contiene anche il verso e la legge con cui il sostegno viene percorso, e per questo due curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Tutti gli integrali di questo capitolo si calcolano a partire da una parametrizzazione.

Stesso sostegno, parametrizzazioni diverse

Le curve

γ (t) = (cos t, sin t), t \in [0, 2 π], δ (t) = (cos 2 t, sin 2 t), t \in [0, π],

hanno lo stesso sostegno, la circonferenza unitaria, percorsa in senso antiorario a partire dal punto $(1, 0)$ . La seconda la percorre in metà tempo, quindi con velocità doppia.

Curve semplici e curve chiuse

Una curva $γ : [a, b] \to R^{n}$ è chiusa se $γ (a) = γ (b)$ , cioè se il punto finale coincide con quello iniziale. È semplice se non attraversa due volte lo stesso punto, cioè se $γ$ è iniettiva su $[a, b]$ ; per una curva chiusa si richiede l’iniettività su $[a, b)$ , poiché la coincidenza degli estremi è prevista dalla definizione. La circonferenza $(cos t, sin t)$ su $[0, 2 π]$ è chiusa e semplice. Le curve chiuse semplici delimitano regioni del piano e compaiono nel capitolo sul teorema di Green.

Osservazione

Il grafico di una funzione $f : [a, b] \to R$ è il sostegno della curva $γ (t) = (t, f (t))$ , detta curva cartesiana. Ogni risultato sulle curve parametriche si applica quindi anche ai grafici; per le curve cartesiane le formule del capitolo assumono una forma più semplice, perché $x^{'} (t) = 1$ .

Curve regolari e vettore tangente

Curva regolare

Una curva $γ : [a, b] \to R^{n}$ è regolare se è di classe $C^{1}$ e $γ^{'} (t) \neq = 0$ per ogni $t \in (a, b)$ , dove

γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t)) oppure γ^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t)) .

Se $γ (t)$ è la posizione di un punto all’istante $t$ , il vettore $γ^{'} (t)$ è la sua velocità. La condizione $γ^{'} (t) \neq = 0$ garantisce che in ogni punto la curva ha una direzione di avanzamento ben definita, quindi una retta tangente; è questa condizione che rende possibile la costruzione degli integrali di linea.

Vettore tangente e retta tangente

Sia $γ$ regolare e sia $t_{0} \in (a, b)$ . Il vettore $γ^{'} (t_{0})$ si chiama vettore tangente a $γ$ in $γ (t_{0})$ ; il versore tangente è

T (t_{0}) = \frac{γ ^{'} ( t _{0} )}{∥ γ ^{'} ( t _{0} )∥} .

La retta tangente alla curva nel punto $γ (t_{0})$ è la retta passante per $γ (t_{0})$ con direzione $γ^{'} (t_{0})$ , di equazione parametrica

r (s) = γ (t_{0}) + s γ^{'} (t_{0}), s \in R .

Il versore tangente indica la direzione e il verso di percorrenza; compare nel legame tra le due specie di integrali di linea.

L'elica circolare

La curva $γ (t) = (cos t, sin t, t)$ , $t \in [0, 2 π]$ , è l’elica circolare: la proiezione sul piano $x y$ percorre la circonferenza unitaria mentre la quota cresce linearmente. Poiché

γ^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1), ∥ γ^{'} (t)∥ = sin^{2} t + cos^{2} t + 1 = 2,

il vettore tangente non è mai nullo, quindi la curva è regolare. La norma costante del vettore velocità rende l’elica un esempio ricorrente negli esercizi su lunghezze e integrali di linea.

Curva regolare a tratti

Una curva $γ : [a, b] \to R^{n}$ continua è regolare a tratti se esiste una suddivisione $a = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = b$ tale che la restrizione di $γ$ a ciascun intervallo $[t_{i - 1}, t_{i}]$ è regolare. Sono regolari a tratti le spezzate, formate da segmenti consecutivi, e le concatenazioni di archi di curve regolari. Lunghezza e integrali di linea di una curva regolare a tratti si calcolano sommando i contributi dei singoli tratti; nei punti di giunzione la curva può avere uno spigolo.

Una cuspide

La curva $γ (t) = (t^{2}, t^{3})$ , $t \in [- 1, 1]$ , ha $γ^{'} (t) = (2 t, 3 t^{2})$ , che si annulla per $t = 0$ . La curva non è regolare su $[- 1, 1]$ , ma è regolare a tratti, con la suddivisione nei due intervalli $[- 1, 0]$ e $[0, 1]$ . Il sostegno presenta una cuspide nell’origine: la curva arriva nell’origine scendendo lungo il ramo con $y < 0$ e riparte lungo il ramo con $y > 0$ , con un’inversione del verso di avanzamento verticale.

Attenzione

L’annullarsi di $γ^{'}$ in un punto non implica che il sostegno abbia lì un punto singolare. La curva $γ (t) = (t^{3}, t^{3})$ , $t \in [- 1, 1]$ , ha $γ^{'} (0) = (0, 0)$ , ma il suo sostegno è il segmento della retta $y = x$ tra $(- 1, - 1)$ e $(1, 1)$ , privo di spigoli: lo stesso segmento è il sostegno della curva regolare $δ (t) = (t, t)$ . La regolarità è una proprietà della parametrizzazione, non del sostegno.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (curve equivalenti e orientazione, lunghezza di una curva, ascissa curvilinea…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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