Calcolo differenziale in più variabili

$f_x=2x{y}^3+3$ e $f_y=3x^2{y}^2-1$, quindi

$f_x=e^y$ e $f_y=x{e}^y+2y$, quindi

Le derivate parziali nell’origine valgono $f_x(0,0)=1$ e $f_y(0,0)=0$, ma il limite della definizione, pari a $\frac{-x{y}^2}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}$, lungo la retta $y=x$ con $x\to 0^{+}$ vale $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$, quindi non è nullo: $f$ non è differenziabile in $(0,0)$.

Sugli assi la funzione è nulla, quindi $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$; il rapporto della definizione è $\frac{h|k|}{\sqrt{h^2+k^2}}$ e in modulo è maggiorato da $\frac{1}{2}\sqrt{h^2+k^2}\to 0$, perciò $f$ è differenziabile in $(0,0)$ con differenziale nullo.

$\nabla f(2,1)=(5,2)$, quindi

$\nabla f(1,2)=(4,1)$, quindi la direzione di massima crescita è il versore

e il valore massimo della derivata direzionale è $\sqrt{17}$.

$f(2,1)=2$, $f_x(2,1)=4$ e $f_y(2,1)=-4$, quindi il piano tangente è

Il gradiente $(2x-4,2y+6)$ si annulla solo in $(2,-3)$, dove $f(2,-3)=-13$: il punto del grafico è $(2,-3,-13)$ e il piano tangente è

$F^{\prime }(t)=2x{e}^t+2y\cdot 2t=2e^{2t}+4t^3$, quindi

Nel punto $(s,t)=(2,1)$ le variabili intermedie valgono $(u,v)=(2,1)$, quindi

in accordo con il teorema di Schwarz, poiché $f$ è di classe $C^2$ su ${\mathbb{R}}^2$.