Teoria

Serie di potenze e serie di Taylor

Dove converge una serie di potenze, come si calcolano il raggio e l'insieme di convergenza, come si deriva e si integra termine a termine, e come gli sviluppi di Taylor rappresentano le funzioni elementari.

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Serie di potenze e raggio di convergenza
Calcolo del raggio
Comportamento agli estremi
Convergenza totale e continuità della somma

Serie di potenze e raggio di convergenza

Serie di potenze

Una serie di potenze centrata in $x_{0} \in R$ è una serie della forma

n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n} = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots

dove i numeri $a_{n}$ sono i coefficienti e $x_{0}$ è il centro; per convenzione $(x - x_{0})^{0} = 1$ anche in $x = x_{0}$ . Per ogni valore fissato di $x$ la serie è una serie numerica, quindi lo studio di una serie di potenze è lo studio dell’insieme dei punti $x$ in cui quella serie numerica converge. In $x = x_{0}$ tutti i termini con $n \geq 1$ sono nulli, perciò ogni serie di potenze converge almeno nel proprio centro, con somma $a_{0}$ . I criteri di convergenza per le serie numeriche sono nel capitolo sulle serie di Analisi 1.

La serie geometrica come serie di potenze

La serie $n = 0 \sum \infty x^{n}$ è una serie di potenze centrata in $0$ con tutti i coefficienti uguali a $1$ . Per $∣ x ∣ < 1$ è una serie geometrica convergente con somma $\frac{1}{1 - x}$ ; per $∣ x ∣ \geq 1$ il termine generale $x^{n}$ non tende a $0$ , quindi la serie non converge. L’insieme di convergenza è l’intervallo $(- 1, 1)$ , simmetrico rispetto al centro. Il teorema seguente mostra che questa forma dell’insieme di convergenza è generale.

Teorema del raggio di convergenza

Per ogni serie di potenze $\sum a_{n} (x - x_{0})^{n}$ esiste un unico $R \in [0, + \infty]$ , detto raggio di convergenza, tale che

se $∣ x - x_{0} ∣ < R$ la serie converge assolutamente;
se $∣ x - x_{0} ∣ > R$ la serie non converge.

Nei casi estremi: se $R = 0$ la serie converge solo in $x_{0}$ ; se $R = + \infty$ la serie converge assolutamente per ogni $x \in R$ . Il teorema riduce lo studio della convergenza al calcolo del numero $R$ ; nei punti con $∣ x - x_{0} ∣ = R$ non afferma nulla, quindi gli estremi richiedono uno studio a parte.

Dimostrazione

Si dimostra prima il fatto seguente: se la serie converge in un punto $x_{1} \neq = x_{0}$ , allora converge assolutamente in ogni $x$ con $∣ x - x_{0} ∣ < ∣ x_{1} - x_{0} ∣$ . Poiché la serie numerica $\sum a_{n} (x_{1} - x_{0})^{n}$ converge, per la condizione necessaria di convergenza il termine generale tende a $0$ , quindi è limitato: esiste $M > 0$ tale che $∣ a_{n} (x_{1} - x_{0})^{n} ∣ \leq M$ per ogni $n$ . Fissato $x$ con $∣ x - x_{0} ∣ < ∣ x_{1} - x_{0} ∣$ , si pone $q = \frac{∣ x - x _{0} ∣}{∣ x _{1} - x _{0} ∣} < 1$ e si maggiora:

∣ a_{n} (x - x_{0})^{n} ∣ = ∣ a_{n} (x_{1} - x_{0})^{n} ∣ \cdot q^{n} \leq M q^{n} .

La serie geometrica $\sum M q^{n}$ converge perché $0 \leq q < 1$ , quindi per il criterio del confronto la serie $\sum ∣ a_{n} (x - x_{0})^{n} ∣$ converge.

Si pone ora

R = sup {∣ x - x_{0} ∣ : la serie converge in x},

estremo superiore di un insieme non vuoto, perché contiene $0$ . Se $∣ x - x_{0} ∣ < R$ , per definizione di estremo superiore esiste un punto di convergenza $x_{1}$ con $∣ x - x_{0} ∣ < ∣ x_{1} - x_{0} ∣$ , quindi per il fatto iniziale la serie converge assolutamente in $x$ . Se $∣ x - x_{0} ∣ > R$ , la serie non converge in $x$ , perché in caso contrario il numero $∣ x - x_{0} ∣$ apparterrebbe all’insieme e sarebbe maggiore del suo estremo superiore, il che è assurdo.

Insieme di convergenza

L’insieme di convergenza $E$ di una serie di potenze è l’insieme dei punti $x$ in cui la serie converge. Per $0 < R < + \infty$ , dal teorema del raggio segue

(x_{0} - R, x_{0} + R) \subseteq E \subseteq [x_{0} - R, x_{0} + R],

quindi $E$ è un intervallo centrato in $x_{0}$ che contiene l’intervallo aperto e può includere o escludere ciascuno dei due estremi. Lo studio completo di una serie di potenze consiste perciò in due passi: il calcolo di $R$ e lo studio della serie numerica in ciascuno dei punti $x_{0} - R$ e $x_{0} + R$ .

Calcolo del raggio

Criterio del rapporto per il raggio

Se $a_{n} \neq = 0$ definitivamente ed esiste

n \to \infty lim \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = ℓ \in [0, + \infty],

allora $R = \frac{1}{ℓ}$ , con le convenzioni $R = + \infty$ per $ℓ = 0$ e $R = 0$ per $ℓ = + \infty$ . L’enunciato segue applicando il criterio del rapporto alla serie dei moduli: per $x \neq = x_{0}$ il rapporto tra due termini consecutivi tende a $ℓ ∣ x - x_{0} ∣$ , che è minore di $1$ se e solo se $∣ x - x_{0} ∣ < \frac{1}{ℓ}$ , e maggiore di $1$ (con termine generale che non tende a $0$ ) se $∣ x - x_{0} ∣ > \frac{1}{ℓ}$ . Per la serie $n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}$ il rapporto è $\frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ , quindi $R = + \infty$ .

Criterio della radice per il raggio

Se esiste

n \to \infty lim n ∣ a_{n} ∣ = ℓ \in [0, + \infty],

allora $R = \frac{1}{ℓ}$ , con le stesse convenzioni del criterio del rapporto. La giustificazione è identica, con il criterio della radice al posto del criterio del rapporto. Questo criterio è adatto quando il coefficiente $a_{n}$ è una potenza $n$ -esima: per $n = 1 \sum \infty (\frac{n}{2 n + 1})^{n} x^{n}$ si ha $n ∣ a_{n} ∣ = \frac{n}{2 n + 1} \to \frac{1}{2}$ , quindi $R = 2$ .

Serie lacunari

Una serie di potenze è lacunare se contiene solo alcune potenze, per esempio solo quelle pari ( $x^{2 n}$ ), solo quelle dispari ( $x^{2 n + 1}$ ) o solo i multipli di tre ( $x^{3 n}$ ). Nella successione dei coefficienti compaiono infiniti zeri, quindi le formule sul rapporto e sulla radice dei coefficienti non si applicano. In questi casi si studia la serie con una sostituzione: per $n = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 n}}{4 ^{n}}$ si pone $t = x^{2}$ e si ottiene la serie geometrica $\sum (\frac{t}{4})^{n}$ , che converge se e solo se $∣ t ∣ < 4$ , cioè $x^{2} < 4$ , cioè $∣ x ∣ < 2$ . Il raggio è quindi $R = 2$ e non $4$ . In alternativa si applica il criterio del rapporto o della radice direttamente ai termini della serie, con $x$ come parametro.

Comportamento agli estremi

Studio degli estremi

Nei punti $x = x_{0} - R$ e $x = x_{0} + R$ il teorema del raggio non dà informazioni, e non esiste un criterio generale. Si sostituisce ciascuno dei due valori nella serie e si studia la serie numerica ottenuta con i criteri delle serie: confronto e confronto asintotico, criterio di Leibniz per le serie a segni alterni, criterio dell’integrale. I due estremi possono comportarsi in modo diverso tra loro, e tutti i comportamenti si realizzano.

Tre serie con lo stesso raggio e insiemi di convergenza diversi

Le serie $n = 1 \sum \infty x^{n}$ , $n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n}$ , $n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$ hanno tutte raggio $R = 1$ .

$\sum x^{n}$ : in $x = \pm 1$ il termine generale non tende a $0$ , quindi la serie non converge in nessuno dei due estremi e $E = (- 1, 1)$ .
$\sum \frac{x ^{n}}{n}$ : in $x = 1$ è la serie armonica, che diverge; in $x = - 1$ è la serie $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ , che converge per il criterio di Leibniz. Quindi $E = [- 1, 1)$ .
$\sum \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$ : in $x = \pm 1$ il modulo del termine generale è $\frac{1}{n ^{2}}$ , termine di una serie convergente, quindi la serie converge assolutamente in entrambi gli estremi e $E = [- 1, 1]$ .

Convergenza totale e continuità della somma

Convergenza totale sui compatti interni

Sia $R > 0$ il raggio di convergenza della serie $\sum a_{n} (x - x_{0})^{n}$ . Per ogni $r$ con $0 < r < R$ la serie converge totalmente sull’intervallo $[x_{0} - r, x_{0} + r]$ . Da questo teorema seguono le proprietà della somma enunciate sotto: continuità, derivabilità e integrabilità termine a termine.

Dimostrazione

Per $x \in [x_{0} - r, x_{0} + r]$ si ha $∣ a_{n} (x - x_{0})^{n} ∣ \leq ∣ a_{n} ∣ r^{n}$ , e il valore $∣ a_{n} ∣ r^{n}$ è raggiunto in $x = x_{0} + r$ , quindi

x \in [x_{0} - r, x_{0} + r] sup ∣ a_{n} (x - x_{0})^{n} ∣ = ∣ a_{n} ∣ r^{n} .

Poiché $r < R$ , il punto $x_{0} + r$ è interno all’intervallo di convergenza, quindi per il teorema del raggio la serie converge assolutamente in quel punto, cioè la serie $\sum ∣ a_{n} ∣ r^{n}$ converge. Perciò la serie degli estremi superiori converge e la convergenza è totale.

Continuità della somma

Sia $R > 0$ . La funzione somma

f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n}

è continua sull’intervallo aperto $(x_{0} - R, x_{0} + R)$ . Ogni punto dell’intervallo aperto appartiene a un compatto $[x_{0} - r, x_{0} + r]$ con $r < R$ ; su quel compatto la convergenza è totale, quindi uniforme, e la somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue è continua, per il teorema richiamato sotto.

Teorema di Abel

Sia $0 < R < + \infty$ . Se la serie converge nell’estremo $x_{0} + R$ , allora la somma $f$ è continua anche in quel punto da sinistra:

x \to (x_{0} + R)^{-} lim f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} R^{n} .

L’enunciato analogo vale nell’estremo $x_{0} - R$ . La dimostrazione si omette. Il teorema permette di estendere un’uguaglianza tra una funzione e una serie di potenze fino a un estremo in cui la serie converge: con questo argomento si giustifica, per esempio, la validità dello sviluppo di $ln (1 + x)$ in $x = 1$ .

La teoria continua con 5 altri paragrafi (derivazione e integrazione termine a termine, serie di taylor, sviluppi di maclaurin notevoli…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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