Integrazioni per parti

L’integranda è il prodotto di un polinomio e di un esponenziale, quindi si integra per parti derivando il polinomio: si pone $f(x)=x$ e $g^{\prime }(x)=e^x$, da cui $f^{\prime }(x)=1$ e $g(x)=e^x$. Il nuovo integrale è quello di $e^x$, che è immediato. Derivando $(x-1)e^x$ si ottiene $e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$, quindi il risultato è corretto.

Quando compare il logaritmo conviene derivarlo, perché la sua derivata $\frac{1}{x}$ è una funzione razionale. Si pone quindi $f(x)=\ln x$ e $g^{\prime }(x)=x$, da cui $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ e $g(x)=\frac{x^2}{2}$. Nel nuovo integrale il prodotto $\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}$ si semplifica in $\frac{x}{2}$, perciò resta l’integrale immediato di $x$ moltiplicato per $\frac{1}{2}$, che vale $\frac{x^2}{4}$.

Nella prima integrazione per parti si pone $f(x)=\sin x$ e $g^{\prime }(x)=e^x$, quindi compare l’integrale di $e^x\cos x$. In questo si pone $f(x)=\cos x$ e $g^{\prime }(x)=e^x$; poiché la derivata di $\cos x$ è $-\sin x$, nell’integrale di $e^x\cos x$ ricompare l’integrale di partenza $I$, sommato a $e^x\cos x$. L’uguaglianza ottenuta è un’equazione nell’incognita $I$: portando $I$ a primo membro si ottiene $2I=e^x(\sin x-\cos x)$ e si divide per $2$. La costante $c$ si aggiunge alla fine, perché il risultato rappresenta l’insieme di tutte le primitive.