Studio di funzione

Dominio $(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$; asintoto verticale $x=2$, asintoto obliquo $y=x+2$ da entrambe le parti. Massimo relativo in $x=1$ con $f(1)=2$, minimo relativo in $x=3$ con $f(3)=6$. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-2{)}^3}$, quindi concava per $x<2$, convessa per $x>2$, nessun flesso.

Dominio $\mathbb{R}$, funzione dispari; asintoto orizzontale $y=0$ da entrambe le parti. Minimo relativo in $x=-1$ con $f(-1)=-\frac{1}{2}$, massimo relativo in $x=1$ con $f(1)=\frac{1}{2}$, entrambi assoluti. Flessi in $x=0$ e in $x=\pm \sqrt{3}$, con $f(\pm \sqrt{3})=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Dominio $\mathbb{R}$; asintoto orizzontale $y=0$ per $x\to -\infty$, nessun asintoto per $x\to +\infty$. Massimo relativo in $x=-2$ con $f(-2)=\frac{4}{e^2}$, minimo relativo in $x=0$ con $f(0)=0$, che è anche minimo assoluto. Flessi in $x=-2-\sqrt{2}$ e $x=-2+\sqrt{2}$, zeri di $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+4x+2)e^x$.

Dominio $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$; $f(x)\to +\infty$ per $x\to 0^{+}$ e $f(x)\to 0^{-}$ per $x\to 0^{-}$, quindi $x=0$ è asintoto verticale solo da destra; asintoto obliquo $y=x+1$ da entrambe le parti. Minimo relativo in $x=1$ con $f(1)=e$, nessun altro punto stazionario. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^{1/x}}{x^3}$, quindi concava per $x<0$, convessa per $x>0$, nessun flesso.

Dominio $\mathbb{R}$, funzione pari, $f(x)\ge 0$ con zero solo in $0$; $f(x)\to +\infty$ per $x\to \pm \infty$, senza asintoti. Unico punto stazionario $x=0$, minimo relativo e assoluto con $f(0)=0$. Flessi in $x=\pm 1$ con $f(\pm 1)=\ln 2$, perché $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1{)}^2}$.

Dominio $(0,+\infty )$; $f(x)\to 0^{-}$ per $x\to 0^{+}$, quindi nessun asintoto verticale, e $f(x)\to +\infty$ per $x\to +\infty$ senza asintoto obliquo. Minimo relativo e assoluto in $x=e^{-1/2}$ con $f\left(e^{-1/2}\right)=-\frac{1}{2e}$. Flesso in $x=e^{-3/2}$ con $f\left(e^{-3/2}\right)=-\frac{3}{2e^3}$, zero di $f^{\prime \prime }(x)=2\ln x+3$.

Dominio $[-3,+\infty )$, zeri in $-3$ e $0$; nessun asintoto, tangente verticale in $x=-3$. Unico punto stazionario $x=-2$, minimo relativo e assoluto con $f(-2)=-2$; decrescente su $[-3,-2]$, crescente su $[-2,+\infty )$. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{3(x+4)}{4(x+3{)}^{3/2}}>0$ sul dominio, quindi convessa e senza flessi.

Dominio $\mathbb{R}$, funzione dispari; asintoti obliqui $y=-\frac{x}{2}+\frac{\pi }{2}$ per $x\to +\infty$ e $y=-\frac{x}{2}-\frac{\pi }{2}$ per $x\to -\infty$. Minimo relativo in $x=-1$ con $f(-1)=\frac{1}{2}-\frac{\pi }{4}$, massimo relativo in $x=1$ con $f(1)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$. Flesso nell’origine, perché $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}$ cambia segno in $0$.

Dominio $\mathbb{R}$, $f(x)\ge 0$ con zero solo in $1$; asintoto orizzontale $y=0$ per $x\to -\infty$. Massimo relativo in $x=0$ con $f(0)=1$; punto angoloso in $x=1$, minimo relativo e assoluto con $f(1)=0$, con derivate laterali $-e$ ed $e$. Flesso in $x=-1$ con $f(-1)=\frac{2}{e}$; il cambio di concavità in $x=1$ non è un flesso, perché nel punto angoloso la retta tangente non esiste.

Dominio $(0,+\infty )$; asintoto verticale $x=0$, con $f(x)\to -\infty$, e $f(x)\to -\infty$ per $x\to +\infty$ senza asintoto obliquo, perché $\frac{f(x)}{x}\to -1$ ma $f(x)+x=\ln x\to +\infty$. Unico punto stazionario $x=1$, massimo relativo e assoluto con $f(1)=-1$. $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$, quindi concava e senza flessi.

I punti stazionari interni sono $x=1$ e $x=3$; il confronto dei valori

dà massimo assoluto $21$, assunto in $x=5$, e minimo assoluto $1$, assunto sia in $x=0$ sia in $x=3$.

I punti stazionari interni sono $x=0$ e $x=2$; il confronto dei valori

dà massimo assoluto $e$, assunto in $x=-1$, e minimo assoluto $0$, assunto in $x=0$, poiché $e>\frac{4}{e^2}>\frac{16}{e^4}>0$.

La funzione $f(x)=x{e}^{-x}$ cresce da $-\infty$ a $\frac{1}{e}$ su $(-\infty ,1]$, decresce da $\frac{1}{e}$ a $0^{+}$ su $[1,+\infty )$. Dal confronto del grafico con la retta $y=k$ si ottengono nessuna soluzione per $k>\frac{1}{e}$, una soluzione per $k=\frac{1}{e}$ e per $k\le 0$, due soluzioni per $0<k<\frac{1}{e}$.

$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$, quindi $f$ è convessa su $(-\infty ,0]$ e su $[2,+\infty )$, concava su $[0,2]$. I punti di flesso sono $x=0$ con $f(0)=10$ e $x=2$ con $f(2)=-6$.