Esercizi da fare

Calcolo integrale

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Integrale immediato di una somma

Calcolare

\int (2 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{1}{x}) d x .

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\frac{x ^{4}}{2} - x^{3} + ln ∣ x ∣ + c

2. Integrale quasi immediato con il logaritmo

Calcolare

\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x .

Mostra soluzione

\frac{( ln x ) ^{3}}{3} + c

3. Integrazione per parti con un polinomio

Calcolare

\int x cos x d x .

Mostra soluzione

x sin x + cos x + c

4. Integrale dell'arcotangente

Calcolare

\int arctan x d x .

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x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + c

5. Sostituzione con la radice

Calcolare

\int \frac{1}{x ( 1 + x )} d x .

Mostra soluzione

2 arctan x + c

6. Sostituzione esponenziale

Calcolare

\int \frac{e ^{2 x}}{e ^{x} + 1} d x .

Mostra soluzione

e^{x} - ln (e^{x} + 1) + c

7. Fratti semplici con radici reali

Calcolare

\int \frac{1}{x ^{2} - 9} d x .

Mostra soluzione

\frac{1}{6} ln \frac{x - 3}{x + 3} + c

8. Funzione razionale con divisione

Calcolare

\int \frac{x ^{2} + 2}{x + 1} d x .

Mostra soluzione

\frac{x ^{2}}{2} - x + 3 ln ∣ x + 1∣ + c

9. Fratti semplici con la forma arcotangente

Calcolare

\int \frac{1}{x ^{2} + 4 x + 8} d x .

Mostra soluzione

\frac{1}{2} arctan \frac{x + 2}{2} + c

10. Integrale definito con cambio degli estremi

Calcolare

\int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x .

Mostra soluzione

\frac{2}{3}

11. Area tra una parabola e l'asse x

Calcolare l’area della regione compresa tra la parabola $y = 4 - x^{2}$ e l’asse $x$ .

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A = \frac{32}{3}

12. Limite di una funzione integrale

Calcolare

x \to 0 lim \frac{\int _{0}^{x} ln ( 1 + t ) d t}{x ^{2}} .

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\frac{1}{2}

13. Derivata di una funzione integrale con estremi variabili

Data

F (x) = \int_{x}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t,

calcolare $F^{'} (x)$ e il valore $F^{'} (1)$ .

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F^{'} (x) = 2 x e^{- x^{4}} - e^{- x^{2}}, F^{'} (1) = \frac{1}{e}

14. Integrale di un valore assoluto

Calcolare

\int_{- 2}^{2} ∣ x + 1∣ d x .

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