Teoria

Integrali impropri

Come si estende l'integrale a intervalli illimitati e a funzioni illimitate, quali integrali campione fanno da riferimento e come i criteri del confronto stabiliscono la convergenza senza calcolare una primitiva.

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Integrale su un intervallo illimitato
Integrale di una funzione illimitata

Integrale su un intervallo illimitato

Sia $f : [a, + \infty) \to R$ integrabile su $[a, t]$ per ogni $t > a$ . L’integrale improprio di $f$ su $[a, + \infty)$ è

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = t \to + \infty lim \int_{a}^{t} f (x) d x .

L’integrale si dice

convergente, se il limite esiste finito;
divergente, se il limite è $+ \infty$ oppure $- \infty$ ;
indeterminato, se il limite non esiste.

Su $(- \infty, b]$ la definizione usa il limite per $t \to - \infty$ dell’integrale su $[t, b]$ . Stabilire in quale dei tre casi cade un integrale, cioè il suo carattere, è il problema del capitolo.

I tre caratteri

\int_{1}^{t} \frac{d x}{x ^{2}} = 1 - \frac{1}{t} \to 1, \int_{1}^{t} \frac{d x}{x} = ln t \to + \infty, \int_{0}^{t} cos x d x = sin t .

Il primo integrale converge e vale $1$ ; il secondo diverge; il terzo è indeterminato, perché $sin t$ per $t \to + \infty$ oscilla tra $- 1$ e $1$ senza ammettere limite.

Osservazione

Il carattere dipende soltanto dal comportamento vicino al punto critico. Per $a < b$ gli integrali su $[a, + \infty)$ e su $[b, + \infty)$ differiscono per l’integrale ordinario su $[a, b]$ , quindi hanno lo stesso carattere. Per questo i criteri di questo capitolo chiedono le ipotesi soltanto definitivamente, cioè da un certo punto in poi.

Integrale di una funzione illimitata

Integrale di una funzione illimitata vicino a un estremo

Sia $f : (a, b] \to R$ integrabile su $[t, b]$ per ogni $t \in (a, b]$ e illimitata vicino ad $a$ . Si pone

\int_{a}^{b} f (x) d x = t \to a^{+} lim \int_{t}^{b} f (x) d x,

con la stessa terminologia: convergente, divergente, indeterminato. Se $f$ è illimitata vicino a $b$ si usa il limite per $t \to b^{-}$ dell’integrale su $[a, t]$ . Un estremo vicino al quale la funzione è illimitata, come pure un estremo infinito, si chiama punto critico dell’integrale.

Esempio

\int_{t}^{1} \frac{d x}{x} = - ln t \to + \infty (t \to 0^{+}), \int_{t}^{1} \frac{d x}{x} = 2 - 2 t \to 2.

L’integrale di $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ diverge, mentre quello di $\frac{1}{x}$ converge e vale $2$ , anche se entrambe le integrande tendono a $+ \infty$ per $x \to 0^{+}$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (più punti critici, integrali campione, criterio del confronto…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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