Integrali impropri

L’integrale converge e vale $\frac{1}{24}$, poiché ${\int }_2^t\frac{dx}{x^4}=\frac{1}{24}-\frac{1}{3t^3}\to \frac{1}{24}$.

L’integrale converge e vale $\frac{1}{3}$, poiché ${\int }_0^t{e}^{-3x}dx=\frac{1}{3}-\frac{e^{-3t}}{3}\to \frac{1}{3}$.

L’integrale converge e vale $\frac{1}{2}$; una primitiva dell’integranda è $-\frac{e^{-x^2}}{2}$ e $e^{-t^2}\to 0$ per $t\to +\infty$.

L’integrale converge e vale $3$, poiché ${\int }_t^1\frac{dx}{x^{2/3}}=3-3t^{1/3}\to 3$ per $t\to 0^{+}$.

L’integrale converge e vale $2$; una primitiva è $-2\sqrt{1-x}$ e $\sqrt{1-t}\to 0$ per $t\to 1^{-}$.

L’integrale converge e vale $\frac{1}{\ln 2}$; una primitiva è $-\frac{1}{\ln x}$, che tende a $0$ per $x\to 0^{+}$ e in $\frac{1}{2}$ vale $\frac{1}{\ln 2}$.

L’integrale converge, perché l’integranda è positiva e asintotica a $\frac{1}{x^2}$ per $x\to +\infty$, e il campione con $\alpha =2$ converge.

L’integrale diverge, perché l’integranda è positiva e asintotica a $\frac{1}{x}$ per $x\to +\infty$, e il campione con $\alpha =1$ diverge.

L’integrale converge. Spezzato in $1$: vicino a $0$ l’integranda è asintotica a $\frac{1}{x^{1/3}}$, con ordine $\frac{1}{3}<1$; all’infinito è asintotica a $\frac{1}{x^{4/3}}$, con ordine $\frac{4}{3}>1$, quindi entrambi i pezzi convergono.

L’integrale diverge, perché $e^{2x}-1\sim 2x$ per $x\to 0$ e l’integranda è asintotica a $\frac{2}{x}$, con campione divergente.

L’integrale diverge, perché $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$ per $x\to 0$ e l’integranda è asintotica a $\frac{1}{2x^{3/2}}$, con ordine di infinito $\frac{3}{2}\ge 1$ nel punto critico $0$.

L’integrale converge se e solo se $\alpha >-1$; l’integranda è asintotica a $\frac{1}{x^{\alpha +2}}$ per $x\to +\infty$ e il campione converge per $\alpha +2>1$.

L’integrale converge se e solo se $\alpha <2$; da $e^x-1\sim x$ per $x\to 0$ segue che l’integranda è asintotica a $\frac{1}{x^{\alpha -1}}$, e il campione in $0$ converge per $\alpha -1<1$.

L’integrale converge, perché converge assolutamente: $\left|\frac{\cos x}{x^3}\right|\le \frac{1}{x^3}$ e il campione con $\alpha =3$ converge.