Numeri complessi

Numero complesso

Un numero complesso è una coppia ordinata $(a,b)$ di numeri reali, con somma e prodotto definiti da

L’insieme dei numeri complessi si indica con $\mathbb{C}$. Posto $i=(0,1)$, dalla definizione di prodotto segue $i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)$, e identificando $(a,0)$ con il numero reale $a$ si ottiene la scrittura

detta forma algebrica. Nei calcoli si usa sempre la forma algebrica: si opera come con i polinomi in $i$, sostituendo $i^2$ con $-1$ ogni volta che compare.

Parte reale e parte immaginaria

Per $z=a+ib$ con $a,b\in \mathbb{R}$ si pone

La parte immaginaria è il numero reale $b$, non $ib$. Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria; su questa proprietà si fondano le equazioni risolte ponendo $z=x+iy$, perché un’uguaglianza in $\mathbb{C}$ equivale a un sistema di due uguaglianze in $\mathbb{R}$.

Somma, prodotto, reciproco e quoziente

Per $z=a+ib$ e $w=c+id$:

Il prodotto si ottiene svolgendo $(a+ib)(c+id)$ con la proprietà distributiva e sostituendo $i^2=-1$. Per il reciproco e il quoziente si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, così il denominatore diventa il numero reale $c^2+d^2$. Con queste operazioni $\mathbb{C}$ è un campo: valgono le stesse regole algebriche di $\mathbb{R}$.