Teoria
Studio di funzione
Lo schema completo dello studio, i criteri per massimi, minimi e flessi, la convessità e la costruzione del grafico qualitativo.
In questa pagina
Lo schema dello studio
Schema dello studio di funzione
Studiare una funzione significa ricavare dalla sua espressione le proprietà che ne determinano il grafico. Ogni passo è fondato su un risultato della teoria:
- dominio: condizioni di esistenza dell’espressione (denominatori non nulli, argomenti dei logaritmi positivi, radicandi delle radici di indice pari non negativi), da imporre in sistema quando sono più di una;
- simmetrie e periodicità: per una funzione pari (grafico simmetrico rispetto all’asse ), per una dispari (grafico simmetrico rispetto all’origine), per una periodica, che si studia su un solo periodo;
- segno e intersezioni con gli assi: la disequazione e l’equazione ; quando l’equazione non si risolve per via algebrica, gli zeri si localizzano con il teorema degli zeri;
- limiti agli estremi del dominio e asintoti: definizioni di limite e di asintoto del capitolo sui limiti;
- continuità: teorema di continuità delle funzioni elementari e delle operazioni tra funzioni continue;
- derivabilità e derivata prima: regole di derivazione del capitolo sulle derivate; nei punti di raccordo, limite del rapporto incrementale oppure limiti laterali di ;
- monotonia e punti stazionari: test di monotonia;
- massimi e minimi relativi e assoluti: teorema di Fermat, criterio della derivata prima, criterio della derivata seconda, teorema di Weierstrass;
- concavità, convessità e punti di flesso: caratterizzazione della convessità con la derivata seconda;
- grafico qualitativo: sintesi di tutte le informazioni in un disegno coerente.
Osservazione
I passi si controllano a vicenda. Se dal segno risulta su un intervallo e dal calcolo dei limiti risulta in un suo estremo, almeno uno dei due risultati è sbagliato; se la funzione è pari, massimi, minimi e flessi compaiono in coppie simmetriche. Un controllo di coerenza tra i passi individua gli errori di calcolo prima del disegno del grafico.
Monotonia e punti stazionari
Test di monotonia
Sia continua su un intervallo e derivabile nei punti interni di .
- Se in ogni punto interno, è strettamente crescente su .
- Se in ogni punto interno, è strettamente decrescente su .
- Se in ogni punto interno, è costante su .
Il teorema segue dal teorema di Lagrange e la dimostrazione si trova nel capitolo sulle derivate. Nello studio di funzione si risolve la disequazione e si riporta il risultato nella tabella dei segni: su ogni intervallo in cui ha segno costante la monotonia è determinata.
Punto stazionario
Un punto interno al dominio, con derivabile in e , si dice stazionario: la retta tangente in è orizzontale. I punti stazionari sono i candidati naturali per massimi e minimi relativi interni, e la loro natura si stabilisce con i criteri della derivata prima e della derivata seconda.
Attenzione
Il test di monotonia vale su un intervallo, non su un’unione di intervalli. Per si ha in ogni punto del dominio, quindi è decrescente su e su separatamente; sull’unione non lo è, perché .
La teoria continua con 6 altri paragrafi (massimi e minimi relativi, criteri per la natura dei punti stazionari, massimi e minimi assoluti…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.
Sblocca ora →