Teoria

Limiti e continuità

Che cosa significa che una funzione tende a un valore, come si calcolano i limiti, quali teoremi li governano, e che cosa aggiunge la continuità.

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Intorni e punti di accumulazione
Definizione di limite

Intorni e punti di accumulazione

Intorno di un punto

Per $x_{0} \in R$ e $r > 0$ , l’intorno di $x_{0}$ di raggio $r$ è l’intervallo aperto

I (x_{0}, r) = (x_{0} - r, x_{0} + r) = {x \in R : ∣ x - x_{0} ∣ < r} .

Un intorno di $+ \infty$ è una semiretta $(a, + \infty)$ ; un intorno di $- \infty$ è una semiretta $(- \infty, a)$ . Le scritture $∣ x - x_{0} ∣ < r$ e $x \in (x_{0} - r, x_{0} + r)$ dicono la stessa cosa, e nelle definizioni di limite compaiono entrambe.

Punto di accumulazione

$x_{0} \in R$ è di accumulazione per $A \subseteq R$ se ogni intorno di $x_{0}$ contiene almeno un punto di $A$ diverso da $x_{0}$ . Il punto può appartenere ad $A$ oppure no. Il limite per $x \to x_{0}$ ha senso solo in un punto di accumulazione del dominio.

$A = (0, 1)$ : di accumulazione sono tutti i punti di $[0, 1]$ , compresi $0$ e $1$ che non stanno in $A$ .
$A = {1, 2, 3}$ : nessun punto di accumulazione.
$A = N$ : nessun punto di accumulazione in $R$ ; ha senso solo $x \to + \infty$ .

Definizione di limite

Limite finito in un punto

$f : A \to R$ , $x_{0}$ di accumulazione per $A$ . Si scrive $x \to x_{0} lim f (x) = L$ , con $L \in R$ , se per ogni $ε > 0$ esiste $δ > 0$ tale che, per ogni $x \in A$ ,

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε .

Fissata una distanza $ε$ da $L$ , piccola a piacere, esiste un intorno di $x_{0}$ in cui tutti i valori $f (x)$ distano da $L$ meno di $ε$ ; il raggio $δ$ dipende da $ε$ . La condizione $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ esclude $x_{0}$ , quindi il valore $f (x_{0})$ , anche quando esiste, non ha alcun ruolo.

Verifica con la definizione

$x \to 2 lim (3 x - 1) = 5$ . Fissato $ε > 0$ , poiché $∣ (3 x - 1) - 5∣ = 3∣ x - 2∣$ , basta $δ = \frac{ε}{3}$ : se $∣ x - 2∣ < \frac{ε}{3}$ allora $3∣ x - 2∣ < ε$ .

Il limite non dipende dal valore nel punto

$f (x) = \frac{sin x}{x}$ è definita per $x \neq = 0$ e $0$ è di accumulazione per il dominio. Per $x \to 0$ si ha $f (x) \to 1$ (limite notevole del seno), anche se $f (0)$ non esiste: il grafico ha un punto vuoto in $(0, 1)$ .

y = sin x / x; il punto (0, 1) non appartiene al grafico

Limite infinito e limite all'infinito

Stessa struttura, con intorni di tipo diverso.

$x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$ se per ogni $M > 0$ esiste $δ > 0$ tale che $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ f (x) > M$ .
$x \to + \infty lim f (x) = L$ (con $A$ illimitato superiormente) se per ogni $ε > 0$ esiste $K > 0$ tale che $x > K ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε$ .
$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ se per ogni $M > 0$ esiste $K > 0$ tale che $x > K ⟹ f (x) > M$ .

Per $- \infty$ si scrive $f (x) < - M$ oppure $x < - K$ . In tutti i casi: per ogni intorno $V$ del valore limite esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f (x) \in V$ per ogni $x \in U \cap A$ , $x \neq = x_{0}$ .

Esempio

$f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ . Per $x \to 0$ : fissato $M > 0$ , $\frac{1}{x ^{2}} > M$ per $0 < ∣ x ∣ < \frac{1}{M}$ , quindi $f (x) \to + \infty$ . Per $x \to + \infty$ : fissato $ε > 0$ , $\frac{1}{x ^{2}} < ε$ per $x > \frac{1}{ε}$ , quindi $f (x) \to 0$ .

Limite destro e limite sinistro

Il limite destro $x \to x_{0}^{+} lim f (x)$ è il limite della restrizione di $f$ ai punti $x > x_{0}$ ; il limite sinistro $x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ ai punti $x < x_{0}$ . Se $x_{0}$ è di accumulazione da entrambi i lati, il limite esiste se e solo se i due limiti laterali esistono e coincidono. Servono quando la funzione ha espressioni diverse a destra e a sinistra, oppure quando un denominatore cambia segno nel punto.

Esempio

$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ e $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ , quindi il limite per $x \to 0$ non esiste.

y = 1/x: i due limiti laterali in 0 sono diversi

La teoria continua con 7 altri paragrafi (primi teoremi sui limiti, operazioni con i limiti e forme indeterminate, limiti notevoli…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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