Insiemi, induzione e funzioni elementari

$A\times B=\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)\}$ e $B\times A=\{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)\}$. La coppia $(0,1)$ non appartiene ad $A\times B$, perché $0\notin A$, mentre appartiene a $B\times A$.

I maggioranti sono i numeri di $[5,+\infty )$; $\sup A=\max A=5$ e $\inf A=\min A=1$.

$\inf A=\min A=2$, ottenuto con $n=1$; $\sup A=3$, che non è massimo perché $3\notin A$.

$\sup A=1$ e $\inf A=-1$; né il massimo né il minimo esistono, perché $1\notin A$ e $-1\notin A$.

Da $\frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}<1$ segue che $1$ è un maggiorante; fissato $\epsilon >0$, la disequazione $1-\frac{2}{n+2}>1-\epsilon$ è soddisfatta per $n>\frac{2}{\epsilon }-2$. Quindi $\sup A=1$; il massimo non esiste, perché $1\notin A$.

Da $\frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}>3$ segue che $3$ è un minorante; fissato $\epsilon >0$, la disequazione $3+\frac{1}{n}<3+\epsilon$ è soddisfatta per $n>\frac{1}{\epsilon }$. Quindi $\inf A=3$; il minimo non esiste, perché $3\notin A$.

Per assurdo sia $\sqrt{5}=\frac{m}{n}$ con la frazione ridotta ai minimi termini; allora $m^2=5n^2$, quindi $5$ divide $m^2$ e, poiché $5$ è primo, $5$ divide $m$. Posto $m=5k$ si ottiene $n^2=5k^2$, quindi $5$ divide anche $n$, contro l’ipotesi di frazione ridotta.

Base: per $n=1$ entrambi i membri valgono $1$. Passo: dall’ipotesi induttiva, $\sum _{k=1}^{n+1}(2k-1)=n^2+(2n+1)=(n+1{)}^2$.

Base: per $n=1$ entrambi i membri valgono $1$. Passo: $\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}+(n+1{)}^3=\frac{(n+1{)}^2(n^2+4(n+1))}{4}=\frac{(n+1{)}^2(n+2{)}^2}{4}$.

Base: per $n=0$ entrambi i membri valgono $1$. Passo: $\sum _{k=0}^{n+1}{2}^k=(2^{n+1}-1)+2^{n+1}=2^{n+2}-1$.

Base: per $n=0$ si ha $1\ge 1$. Passo: $2^{n+1}=2\cdot 2^n\ge 2(n+1)=(n+2)+n\ge n+2$. La stessa disuguaglianza segue anche dalla disuguaglianza di Bernoulli con $x=1$.

Base: per $n=1$ si ha $1\ge 1$. Passo: $(n+1)!=(n+1)\cdot n!\ge 2\cdot 2^{n-1}=2^n$, poiché $n+1\ge 2$.

Base: per $n=2$ si ha $9>6$. Passo: $3^{n+1}=3\cdot 3^n>3\cdot 2^n+3n\ge 2^{n+1}+n+1$, poiché $3\cdot 2^n\ge 2^{n+1}$ e $3n\ge n+1$ per $n\ge 1$.

Base: per $n=0$ si ottiene $0=4\cdot 0$. Passo: $5^{n+1}-1=5(5^n-1)+4$; se $5^n-1=4m$, allora $5^{n+1}-1=4(5m+1)$.

Base: per $n=0$ si ottiene $0=6\cdot 0$. Passo: $(n+1{)}^3+5(n+1)=(n^3+5n)+3n(n+1)+6$; il prodotto $n(n+1)$ è pari, quindi $3n(n+1)$ è divisibile per $6$, e la somma di multipli di $6$ è un multiplo di $6$.

Il termine con $x^3$ corrisponde a $k=2$ e vale $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)(2x{)}^3(-1{)}^2=80x^3$: il coefficiente è $80$.

L’equazione $\frac{n(n-1)}{2}=36$ equivale a $n(n-1)=72$, soddisfatta da $n=9$.

L’immagine è $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ e l’inversa è

L’immagine è $(1,+\infty )$ e l’inversa è

$f$ è dispari, $g$ è pari, $h$ non è né pari né dispari, perché $h(-1)=0$ mentre $h(1)=2$ e $-h(1)=-2$.

Da $x^2$: traslazione orizzontale verso sinistra di $1$, riflessione rispetto all’asse $x$, traslazione verticale verso l’alto di $3$. Il vertice è $(-1,3)$ e l’immagine è $(-\infty ,3]$.