Numeri complessi

$(2+3i)(1-2i)=8-i$ e $(1+i{)}^2=2i$, quindi $z=8-3i$.

Moltiplicando numeratore e denominatore per $2-i$ si ottiene $z=\frac{5-10i}{5}=1-2i$.

Il modulo è $2$ e l’argomento principale è $\frac{\pi }{6}-\pi =-\frac{5\pi }{6}$, quindi $z=2e^{-i\frac{5\pi }{6}}$.

$1-i=\sqrt{2}{e}^{-i\frac{\pi }{4}}$, quindi $(1-i{)}^{10}=2^5{e}^{-i\frac{5\pi }{2}}=32e^{-i\frac{\pi }{2}}=-32i$.

Le soluzioni sono $2$, $2i$, $-2$, $-2i$: i vertici di un quadrato inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio $2$, con i vertici sugli assi.

$\Delta =16-116=-100$, quindi $z=\frac{4\pm 10i}{2}=2\pm 5i$.

Posto $t=z^2$ si ottiene $t=4$ oppure $t=-2$, quindi le soluzioni sono $z=\pm 2$ e $z=\pm i\sqrt{2}$.

Posto $z=x+iy$ l’equazione diventa $5x-iy=10-i$, quindi $x=2$, $y=1$ e $z=2+i$.

Posto $z=x+iy$ l’equazione diventa $x^2+y^2+2iy=9+6i$, da cui $y=3$ e $x=0$: l’unica soluzione è $z=3i$.

L’equazione equivale a $|z-(-1+2i)|=3$: il luogo è la circonferenza di centro $(-1,2)$ e raggio $3$.

Le radici sono $i$, $-i$ e $2$; la fattorizzazione reale è $p(z)=(z-2)(z^2+1)$.