Teoria

Equazioni differenziali

Che cosa sono le equazioni differenziali e il problema di Cauchy, i metodi risolutivi per il primo ordine e per il secondo ordine a coefficienti costanti.

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Equazioni differenziali e problema di Cauchy
Esistenza e unicità locale
Equazioni a variabili separabili
Equazioni lineari del primo ordine

Equazioni differenziali e problema di Cauchy

Equazione differenziale, ordine, soluzione

Un’equazione differenziale è un’equazione la cui incognita è una funzione $y (x)$ e in cui compaiono una o più derivate di $y$ . L’ordine dell’equazione è l’ordine massimo di derivazione presente: $y^{'} = 2 y$ ha ordine $1$ , $y^{''} + y = 0$ ha ordine $2$ . Una soluzione (o integrale) su un intervallo $I$ è una funzione $y : I \to R$ , derivabile in $I$ tante volte quante ne richiede l’ordine, che sostituita nell’equazione la rende un’identità per ogni $x \in I$ . Per verificare che una funzione è soluzione si calcolano le sue derivate e si sostituiscono nell’equazione.

Verifica di una soluzione

$y = e^{3 x}$ è soluzione di $y^{'} = 3 y$ su $R$ , poiché $y^{'} = 3 e^{3 x} = 3 y$ . Anche $y = C e^{3 x}$ è soluzione per ogni costante $C \in R$ , perché $y^{'} = 3 C e^{3 x} = 3 y$ .

Integrale generale e integrale particolare

L’integrale generale di un’equazione differenziale è la famiglia di tutte le sue soluzioni; per le equazioni di ordine $n$ trattate in questo capitolo dipende da $n$ costanti arbitrarie. Un integrale particolare è la singola soluzione che si ottiene assegnando un valore alle costanti. L’integrale generale di $y^{'} = 3 y$ è $y = C e^{3 x}$ con $C \in R$ ; per $C = 1$ si ottiene l’integrale particolare $y = e^{3 x}$ .

Problema di Cauchy

Un problema di Cauchy per un’equazione del primo ordine è il sistema

{y^{'} = f (x, y) y (x_{0}) = y_{0}

formato dall’equazione e da una condizione iniziale. La condizione iniziale serve a selezionare, tra le infinite soluzioni dell’integrale generale, quella il cui grafico passa per il punto $(x_{0}, y_{0})$ : si sostituiscono $x_{0}$ e $y_{0}$ nell’integrale generale e si ricava la costante.

Risoluzione di un problema di Cauchy

Per il problema $y^{'} = 3 y$ con $y (0) = 2$ , l’integrale generale è $y = C e^{3 x}$ . Imponendo la condizione iniziale si ottiene $y (0) = C = 2$ , quindi la soluzione è $y = 2 e^{3 x}$ .

Esistenza e unicità locale

Sia $f (x, y)$ definita in un rettangolo aperto del piano contenente il punto $(x_{0}, y_{0})$ . Se $f$ e la derivata parziale $\frac{\partial f}{\partial y}$ sono continue nel rettangolo, allora il problema di Cauchy $y^{'} = f (x, y)$ con $y (x_{0}) = y_{0}$ ha una e una sola soluzione, definita in un intorno di $x_{0}$ . Il teorema garantisce che il problema è ben posto prima di qualunque calcolo. L’aggettivo locale indica che la soluzione è assicurata soltanto vicino a $x_{0}$ : l’intervallo massimale su cui è definita può essere più piccolo di quello su cui è definita $f$ , come si vede negli esercizi sull’intervallo di esistenza. La dimostrazione richiede le successioni di funzioni e si rimanda ai corsi successivi.

Attenzione

Senza la continuità di $\frac{\partial f}{\partial y}$ l’unicità può non valere. Il problema di Cauchy $y^{'} = 2 ∣ y ∣$ con $y (0) = 0$ ha almeno due soluzioni su $R$ : la funzione nulla $y \equiv 0$ e la funzione $y = x ∣ x ∣$ , per la quale $y^{'} = 2∣ x ∣ = 2 ∣ y ∣$ . La funzione $f (x, y) = 2 ∣ y ∣$ è continua, ma la sua derivata parziale rispetto a $y$ è illimitata vicino a $y = 0$ , quindi l’ipotesi del teorema non è soddisfatta.

Equazioni a variabili separabili

Equazione a variabili separabili

Un’equazione del primo ordine è a variabili separabili se si scrive nella forma

y^{'} = g (x) h (y)

con $g$ continua su un intervallo e $h$ di classe $C^{1}$ . Il secondo membro è il prodotto di una funzione della sola $x$ e di una funzione della sola $y$ : l’equazione $y^{'} = x y^{2}$ è a variabili separabili con $g (x) = x$ e $h (y) = y^{2}$ , mentre $y^{'} = x + y$ non lo è.

Metodo di separazione delle variabili

Per l’equazione $y^{'} = g (x) h (y)$ valgono i fatti seguenti.

Se $h (\overset{y}{ˉ}) = 0$ , la funzione costante $y \equiv \overset{y}{ˉ}$ è soluzione.
Nelle regioni in cui $h (y) \neq = 0$ , le soluzioni soddisfano

H (y (x)) = G (x) + C,

dove $H$ è una primitiva di $\frac{1}{h}$ e $G$ è una primitiva di $g$ ; da questa uguaglianza si ricava $y (x)$ .

Operativamente si scrive $\frac{d y}{h ( y )} = g (x) d x$ e si integrano i due membri, ciascuno nella propria variabile. Le soluzioni costanti vanno cercate a parte, perché la divisione per $h (y)$ le esclude.

Dimostrazione

La funzione costante $y \equiv \overset{y}{ˉ}$ ha derivata nulla e, poiché $h (\overset{y}{ˉ}) = 0$ , anche il secondo membro è nullo, quindi l’equazione è soddisfatta. Sia ora $y$ una soluzione con $h (y (x)) \neq = 0$ su un intervallo. Dividendo l’equazione per $h (y (x))$ si ottiene

\frac{y ^{'} ( x )}{h ( y ( x ))} = g (x) .

Per la regola di derivazione della funzione composta, il primo membro è la derivata di $H (y (x))$ , dato che $\frac{d}{d x} H (y (x)) = H^{'} (y (x)) y^{'} (x) = \frac{y ^{'} ( x )}{h ( y ( x ))}$ . Quindi $H (y (x))$ e $G (x)$ hanno la stessa derivata sull’intervallo, perciò differiscono per una costante.

Separazione con soluzione costante

$y^{'} = - 2 x y$ . La funzione nulla $y \equiv 0$ è soluzione. Per $y \neq = 0$ si separa:

\int \frac{d y}{y} = \int (- 2 x) d x ⟹ ln ∣ y ∣ = - x^{2} + c ⟹ y = C e^{- x^{2}}

con $C = \pm e^{c} \neq = 0$ . Il valore $C = 0$ restituisce la soluzione nulla, quindi l’integrale generale è $y = C e^{- x^{2}}$ con $C \in R$ .

La soluzione con C = 1, cioè y = e^(−x²)

Osservazione

L’intervallo di esistenza della soluzione di un problema di Cauchy è il più grande intervallo contenente $x_{0}$ su cui la funzione trovata è derivabile e soddisfa l’equazione. Può essere limitato anche quando $f$ è definita in tutto il piano. Il problema $y^{'} = 1 + y^{2}$ con $y (0) = 0$ ha soluzione $y = tan x$ : la soluzione è definita su $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , l’intervallo contenente $0$ in cui la tangente è derivabile, e agli estremi tende all’infinito.

Equazioni lineari del primo ordine

Equazione lineare del primo ordine

Un’equazione del primo ordine è lineare se si scrive nella forma

y^{'} + a (x) y = b (x)

con $a$ e $b$ continue su un intervallo $I$ . Se $b \equiv 0$ l’equazione si dice omogenea; l’equazione $y^{'} + a (x) y = 0$ è l’omogenea associata. L’incognita e la sua derivata compaiono a primo grado: $y^{'} + x y = e^{x}$ è lineare, $y^{'} = y^{2}$ non lo è.

Formula risolutiva con il fattore integrante

Sia $A (x)$ una primitiva di $a (x)$ su $I$ . L’integrale generale dell’equazione $y^{'} + a (x) y = b (x)$ è

y (x) = e^{- A (x)} (C + \int b (x) e^{A (x)} d x), C \in R,

dove l’integrale indica una primitiva di $b (x) e^{A (x)}$ . Tutte le soluzioni sono definite su tutto $I$ . Operativamente si moltiplica l’equazione per il fattore integrante $e^{A (x)}$ , si riconosce a primo membro la derivata di $e^{A (x)} y$ e si integra.

Dimostrazione

Il fattore integrante $e^{A (x)}$ non si annulla mai, quindi moltiplicare per esso dà un’equazione equivalente. Per la regola di derivazione del prodotto,

(e^{A (x)} y)^{'} = e^{A (x)} y^{'} + a (x) e^{A (x)} y = e^{A (x)} (y^{'} + a (x) y),

perciò l’equazione equivale a

(e^{A (x)} y)^{'} = e^{A (x)} b (x) .

Due primitive della stessa funzione su un intervallo differiscono per una costante, quindi $e^{A (x)} y = \int b (x) e^{A (x)} d x + C$ ; dividendo per $e^{A (x)}$ si ottiene la formula. Tutti i passaggi sono equivalenze, perciò la formula fornisce tutte e sole le soluzioni.

Struttura dell'integrale generale

L’integrale generale di $y^{'} + a (x) y = b (x)$ è

y = C e^{- A (x)} + y_{p} (x),

dove $C e^{- A (x)}$ è l’integrale generale dell’omogenea associata e $y_{p}$ è una qualunque soluzione particolare dell’equazione completa. La struttura si legge nella formula risolutiva, separando il termine con la costante $C$ dal termine con la primitiva. La stessa struttura vale per ogni equazione lineare, di qualunque ordine, e viene ripresa per il secondo ordine.

Esempio

$y^{'} + y = x$ . Qui $a (x) = 1$ , quindi $A (x) = x$ e il fattore integrante è $e^{x}$ :

(e^{x} y)^{'} = x e^{x} ⟹ e^{x} y = (x - 1) e^{x} + C ⟹ y = x - 1 + C e^{- x},

dove la primitiva di $x e^{x}$ si calcola per parti. Il termine $C e^{- x}$ risolve l’omogenea associata, il termine $x - 1$ è una soluzione particolare della completa.

La teoria continua con 4 altri paragrafi (equazioni di bernoulli, secondo ordine a coefficienti costanti equazioni omogenee, equazioni non omogenee il metodo di somiglianza…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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