Insiemi, induzione e funzioni elementari

Insieme, appartenenza, inclusione

Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi. La scrittura $x\in A$ significa che $x$ è un elemento di $A$; $x\notin A$ significa che non lo è. Un insieme si assegna elencando gli elementi, come $\{1,2,3\}$, oppure indicando la proprietà che li individua: $\{x\in E:P(x)\}$ è l’insieme degli elementi di $E$ per cui $P(x)$ è vera. L’insieme vuoto $\varnothing$ è l’insieme privo di elementi.

$A\subseteq B$ ($A$ è contenuto in $B$, o $A$ è un sottoinsieme di $B$) significa che ogni elemento di $A$ appartiene anche a $B$. L’uguaglianza tra insiemi equivale alla doppia inclusione:

La doppia inclusione è il metodo con cui si dimostra che due insiemi sono uguali: si verificano separatamente le due inclusioni.

Unione, intersezione, differenza, complementare

Per $A$ e $B$ sottoinsiemi di un insieme ambiente $E$:

L’oppure dell’unione non è esclusivo: gli elementi comuni ad $A$ e $B$ appartengono all’unione. Se $A\cap B=\varnothing$, gli insiemi si dicono disgiunti. Il complementare dipende dall’ambiente $E$; per i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$, salvo indicazione contraria, l’ambiente è $\mathbb{R}$. Le operazioni traducono i connettivi logici, perciò l’insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni, e l’insieme delle soluzioni di una disequazione risolta per casi è l’unione delle soluzioni dei casi.

Prodotto cartesiano

Il prodotto cartesiano di $A$ e $B$ è l’insieme delle coppie ordinate

Nelle coppie l’ordine conta, quindi in generale $A\times B\ne B\times A$: per $A=\{1,2\}$ e $B=\{0\}$ si ha $A\times B=\{(1,0),(2,0)\}$ e $B\times A=\{(0,1),(0,2)\}$. L’insieme ${\mathbb{R}}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ è il piano cartesiano: i grafici delle funzioni sono suoi sottoinsiemi, perciò il prodotto cartesiano è l’ambiente di tutto il capitolo sulle funzioni.