Esercizi da fare

Calcolo differenziale e Taylor

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Derivata di un polinomio con la definizione

Calcolare con la definizione la derivata di

f (x) = x^{3}

in un punto generico $x \in R$ .

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f^{'} (x) = 3 x^{2}

2. Derivata di una funzione razionale con la definizione

Calcolare con la definizione la derivata di

f (x) = \frac{1}{x + 1}

nei punti $x \neq = - 1$ .

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f^{'} (x) = - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

3. Derivata di una funzione composta

Calcolare la derivata di

f (x) = cos (x^{3}) .

Mostra soluzione

f^{'} (x) = - 3 x^{2} sin (x^{3})

4. Derivata di un quoziente

Calcolare la derivata di

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}

nei punti $x \neq = 1$ .

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f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

5. Retta tangente in un punto

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di

f (x) = x e^{x}

nel punto di ascissa $x_{0} = 0$ .

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y = x

6. Punti a tangente orizzontale

Determinare i punti del grafico di

f (x) = x e^{- x}

in cui la retta tangente è orizzontale e scrivere le tangenti corrispondenti.

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L’unico punto è $(1, \frac{1}{e})$ ; la tangente è la retta $y = \frac{1}{e}$ .

7. Raccordo derivabile di una funzione a tratti

Determinare $a \in R$ in modo che la funzione

f (x) = {sin x x^{2} + a x se x \leq 0 se x > 0

sia derivabile in $x = 0$ .

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a = 1

8. Derivabilità di una funzione con valore assoluto

Determinare i punti in cui la funzione

f (x) = x^{2} - 4

non è derivabile e classificarli.

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$f$ è derivabile su $R ∖ {- 2, 2}$ . In $x = - 2$ le derivate laterali valgono $- 4$ e $4$ , in $x = 2$ valgono $- 4$ e $4$ : entrambi i punti sono angolosi.

9. Verifica del teorema di Lagrange

Verificare che $f (x) = x^{2}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange sull’intervallo $[1, 3]$ e determinare i punti $c$ dati dal teorema.

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Le ipotesi sono soddisfatte perché $f$ è un polinomio; l’unico punto è

c = 2.

10. Monotonia ed estremi di un polinomio

Determinare gli intervalli di monotonia e gli estremi locali di

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} .

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$f$ è strettamente decrescente su $(- \infty, 3]$ e strettamente crescente su $[3, + \infty)$ ; il punto $x = 3$ è di minimo assoluto con $f (3) = - 27$ . Il punto stazionario $x = 0$ non è un estremo.