Esercizi da fare

Limiti e continuità

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Rapporto di polinomi con forma 0/0

Calcolare

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2} .

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x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2} - 3 x + 2} = 4

2. Segno di una funzione vicino a un punto

Sia $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 3}$ . Stabilire se esiste un intorno di $x_{0} = 5$ in cui $f$ è positiva, e spiegare quale teorema lo garantisce.

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Sì. Si ha $x \to 5 lim f (x) = \frac{26}{2} = 13 > 0$ , quindi per il teorema di permanenza del segno esiste un intorno di $5$ in cui $f (x) > 0$ .

3. Rapporto di seni

Calcolare

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{sin 5 x} .

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x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{sin 5 x} = \frac{3}{5}

4. Differenza di radici all'infinito

Calcolare

x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x^{2} - x) .

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x \to + \infty lim (x^{2} + 2 x - x^{2} - x) = \frac{3}{2}

5. Coseno con argomento doppio

Calcolare

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} .

Mostra soluzione

x \to 0 lim \frac{1 - cos 2 x}{x ^{2}} = 2

6. Forma 1 elevato a infinito

Calcolare

x \to + \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{2 x} .

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x \to + \infty lim (1 + \frac{3}{x})^{2 x} = e^{6}

7. Logaritmo ed esponenziale a confronto

Calcolare

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 4 x )}{e ^{3 x} - 1} .

Mostra soluzione

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + 4 x )}{e ^{3 x} - 1} = \frac{4}{3}

8. Gerarchia degli infiniti

Calcolare

x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + ln x}{e ^{x}} .

Mostra soluzione

x \to + \infty lim \frac{x ^{3} + ln x}{e ^{x}} = 0

9. Limiti laterali in un punto

Calcolare i limiti destro e sinistro per $x \to 1$ di

f (x) = \frac{x + 2}{x ^{2} - 1}

e stabilire se esiste il limite per $x \to 1$ .

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x \to 1^{+} lim \frac{x + 2}{x ^{2} - 1} = + \infty, x \to 1^{-} lim \frac{x + 2}{x ^{2} - 1} = - \infty

Il limite per $x \to 1$ non esiste, perché i limiti laterali sono diversi.

10. Asintoti di una funzione razionale

Determinare gli asintoti di

f (x) = \frac{2 x ^{2} + 1}{x + 1} .

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Asintoto verticale $x = - 1$ ; asintoto obliquo $y = 2 x - 2$ , sia per $x \to + \infty$ sia per $x \to - \infty$ . Nessun asintoto orizzontale.

11. Continuità con un parametro

Determinare $a \in R$ in modo che la funzione

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{sin 3 x}{x} a se x \neq = 0 se x = 0

sia continua in $x = 0$ .

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a = 3

12. Classificazione di due discontinuità

Classificare il punto $x = 0$ per $f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}$ e il punto $x = 1$ per $g (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ .

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Per $f$ il punto $0$ è una discontinuità di salto: i limiti laterali valgono $1$ e $- 1$ . Per $g$ il punto $1$ è una discontinuità eliminabile: il limite vale $2$ e $g (1)$ non è definito.

13. Soluzioni di un'equazione con il teorema degli zeri

Dimostrare che l’equazione

x^{3} - 4 x + 1 = 0

ha tre soluzioni reali, e indicare per ciascuna un intervallo di ampiezza $1$ che la contiene.

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Posto $f (x) = x^{3} - 4 x + 1$ , si ha $f (- 3) = - 14$ , $f (- 2) = 1$ , $f (0) = 1$ , $f (1) = - 2$ , $f (2) = 1$ . La funzione è continua e cambia segno in $[- 3, - 2]$ , in $[0, 1]$ e in $[1, 2]$ , quindi per il teorema degli zeri ha uno zero in ciascuno di questi intervalli. Un polinomio di terzo grado ha al più tre radici reali, perciò le soluzioni sono esattamente tre.

14. Esponenziale e coseno, forma 0/0

Calcolare

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - 1}{1 - cos x} .

Mostra soluzione

x \to 0 lim \frac{e ^{x^{2}} - 1}{1 - cos x} = 2