Integrazioni per sostituzione

L’integranda è una funzione di $\sqrt{x}$ accompagnata dal fattore $\frac{1}{\sqrt{x}}$, che a meno della costante $2$ è la derivata di $\sqrt{x}$. Si pone quindi $t=\sqrt{x}$ e si esprime il differenziale: da $dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}$ segue che $\frac{dx}{\sqrt{x}}$ si sostituisce con $2dt$. L’integrale nella variabile $t$ è immediato e alla fine si torna alla variabile $x$ con $t=\sqrt{x}$. Derivando $2e^{\sqrt{x}}$ si ottiene $2e^{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$, quindi il risultato è corretto.

La radice si elimina con la sostituzione $t=\sqrt{x+1}$, scritta anche nella forma inversa $x=t^2-1$, da cui $dx=2tdt$. Dopo la sostituzione il fattore $t$ al denominatore si semplifica con il fattore $2t$ del differenziale, quindi resta l’integrale del polinomio $2(t^2-1)$, che si calcola con la tabella. Per tornare alla variabile $x$ si sostituisce $t=\sqrt{x+1}$, e $t^3$ diventa $(x+1)\sqrt{x+1}$. Derivando il risultato si ottiene $\sqrt{x+1}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{(x+1)-1}{\sqrt{x+1}}=\frac{x}{\sqrt{x+1}}$, che è l’integranda.

La radice $\sqrt{1-x^2}$ suggerisce la sostituzione inversa $x=\sin t$, perché $1-{\sin }^{2}t={\cos }^{2}t$. Sull’intervallo scelto per $t$ il coseno è non negativo, quindi $\sqrt{{\cos }^{2}t}=\cos t$ senza valore assoluto. L’integrale di ${\cos }^{2}t$ si calcola con la formula di bisezione ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$, e l’integrale di $\cos 2t$ è $\frac{\sin 2t}{2}$ perché la derivata di $\sin 2t$ è $2\cos 2t$. Con la formula di duplicazione $\sin 2t=2\sin t\cos t$ il risultato si riscrive in funzione di $\sin t$ e $\cos t$. La sostituzione è invertibile sull’intervallo scelto, quindi $t=\arcsin x$; poiché $\sin t=x$, si ha $\cos t=\sqrt{1-x^2}$ e il risultato torna nella variabile $x$.