Esercizi svolti · Scheda 1

Integrali immediati e quasi immediati

Teoria usata: Primitiva e integrale indefinito Integrali elementari Integrali elementari in forma composta

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Esercizio 1

Calcolare

\int (4 x^{3} - 2 x + \frac{3}{x}) d x .

\int (4 x^{3} - 2 x + \frac{3}{x}) d x = 4 \int x^{3} d x - 2 \int x d x + 3 \int \frac{1}{x} d x = x^{4} - x^{2} + 3 ln ∣ x ∣ + c

Per la linearità l’integrale della somma è la somma degli integrali e le costanti moltiplicative escono dal segno di integrale. Dalla tabella degli integrali elementari, l’integrale di $x^{3}$ è $\frac{x ^{4}}{4}$ e l’integrale di $x$ è $\frac{x ^{2}}{2}$ , quindi i primi due addendi danno $x^{4}$ e $- x^{2}$ . L’integrale di $\frac{1}{x}$ è $ln ∣ x ∣$ , perciò il terzo addendo dà $3 ln ∣ x ∣$ . Le tre costanti di integrazione si riassumono nell’unica costante $c$ . Derivando $x^{4} - x^{2} + 3 ln ∣ x ∣$ si ritrova l’integranda, quindi il risultato è corretto.

Esercizio 2

Calcolare

\int x e^{x^{2}} d x .

\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + c

La derivata dell’esponente $x^{2}$ è $2 x$ e nell’integranda compare il fattore $x$ , quindi l’integrale è quasi immediato della forma $\int f^{'} e^{f} d x$ con $f (x) = x^{2}$ . Si moltiplica e si divide per $2$ per ricostruire esattamente il fattore $f^{'} (x) = 2 x$ ; a quel punto la formula dà $e^{x^{2}}$ , moltiplicato per il coefficiente $\frac{1}{2}$ rimasto fuori. La verifica per derivazione dà $\frac{1}{2} e^{x^{2}} \cdot 2 x = x e^{x^{2}}$ , che è l’integranda.

Esercizio 3

Calcolare

\int \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} d x .

\int \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} d x = \int \frac{e ^{x}}{1 + ( e ^{x} ) ^{2}} d x = arctan (e^{x}) + c

Poiché $e^{2 x} = (e^{x})^{2}$ , il denominatore si scrive $1 + (e^{x})^{2}$ . Il numeratore $e^{x}$ è la derivata di $e^{x}$ , quindi l’integrale ha la forma $\int \frac{f ^{'}}{1 + f ^{2}} d x$ con $f (x) = e^{x}$ , il cui risultato è $arctan f (x)$ . Derivando $arctan (e^{x})$ si ottiene $\frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}}$ , perciò il risultato è corretto.