Esercizi svolti · Scheda 2

Lavoro di campi conservativi calcolato con il potenziale

Teoria usata: Lavoro di un campo conservativo Potenziale per integrazione successiva Caratterizzazione dei campi conservativi

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Esercizio 1

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (2 x + y, x + 2 y)

lungo la curva $r (t) = (t, 2 t^{3})$ , $t \in [0, 1]$ .

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = 1 = \frac{\partial F _{2}}{\partial x}

U (x, y) = \int (2 x + y) d x + c (y) = x^{2} + x y + c (y)

U_{y} = x + c^{'} (y) = x + 2 y ⟹ c (y) = y^{2} + k

r (0) = (0, 0), r (1) = (1, 2)

\int_{γ} F \cdot d r = U (1, 2) - U (0, 0) = 1 + 2 + 4 = 7

Il calcolo diretto dell’integrale di linea lungo la curva $r (t) = (t, 2 t^{3})$ è possibile ma laborioso, quindi conviene prima controllare se il campo è conservativo. Le derivate incrociate valgono entrambe $1$ e il dominio $R^{2}$ è semplicemente connesso, perciò il campo è conservativo. Un potenziale, costruito per integrazione successiva, è $U (x, y) = x^{2} + x y + y^{2}$ . Per il teorema sul lavoro di un campo conservativo il lavoro è la differenza dei valori del potenziale negli estremi della curva: il punto finale è $r (1) = (1, 2)$ , il punto iniziale è $r (0) = (0, 0)$ , quindi il lavoro vale $U (1, 2) - U (0, 0) = 7$ . La forma della curva tra i due estremi non influisce sul risultato.

Esercizio 2

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (e^{x} sin y, e^{x} cos y)

lungo una qualunque curva regolare a tratti da $(0, 0)$ a $(ln 2, \frac{π}{2})$ .

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = e^{x} cos y = \frac{\partial F _{2}}{\partial x}

U (x, y) = \int e^{x} sin y d x + c (y) = e^{x} sin y + c (y)

U_{y} = e^{x} cos y + c^{'} (y) = e^{x} cos y ⟹ c (y) = k

\int_{γ} F \cdot d r = U (ln 2, \frac{π}{2}) - U (0, 0) = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 2

La traccia chiede il lavoro lungo una curva qualunque con estremi assegnati, quindi la richiesta ha senso solo se il lavoro non dipende dal cammino, cioè se il campo è conservativo. Le derivate incrociate coincidono su $R^{2}$ , che è semplicemente connesso, perciò il campo è conservativo e il lavoro è ben definito dai soli estremi. Un potenziale è $U (x, y) = e^{x} sin y$ , poiché integrando $e^{x} sin y$ rispetto a $x$ la funzione $sin y$ è una costante e la condizione su $U_{y}$ dà $c^{'} (y) = 0$ . Nel punto finale il potenziale vale $e^{l n 2} sin \frac{π}{2} = 2$ , nel punto iniziale vale $e^{0} sin 0 = 0$ , quindi il lavoro è $2$ .

Esercizio 3

Calcolare la circuitazione del campo

F (x, y) = (2 x y, x^{2} + 1)

lungo la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 1$ percorsa in verso antiorario.

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = 2 x = \frac{\partial F _{2}}{\partial x}

U (x, y) = x^{2} y + y + k

\oint_{γ} F \cdot d r = 0

Le derivate incrociate valgono entrambe $2 x$ e il dominio $R^{2}$ è semplicemente connesso, quindi il campo è conservativo; un potenziale è $U (x, y) = x^{2} y + y$ . Per il teorema di caratterizzazione dei campi conservativi la circuitazione di un campo conservativo lungo ogni curva chiusa è nulla, perciò l’integrale vale $0$ senza alcun calcolo di parametrizzazione. Il calcolo diretto con $r (t) = (cos t, sin t)$ condurrebbe allo stesso risultato dopo l’integrazione di funzioni trigonometriche su $[0, 2 π]$ .