Esercizi svolti · Scheda 1

Riconoscimento di campi conservativi e costruzione del potenziale

Teoria usata: Campo irrotazionale (campo chiuso)Irrotazionale su semplicemente connesso implica conservativo Potenziale per integrazione successiva

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

Stabilire se il campo

F (x, y) = (2 x y + 3 x^{2}, x^{2} - 4 y)

è conservativo su $R^{2}$ e, in caso affermativo, determinarne i potenziali.

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = 2 x, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} = 2 x

U (x, y) = \int (2 x y + 3 x^{2}) d x + c (y) = x^{2} y + x^{3} + c (y)

U_{y} = x^{2} + c^{'} (y) = x^{2} - 4 y ⟹ c^{'} (y) = - 4 y ⟹ c (y) = - 2 y^{2} + k

U (x, y) = x^{2} y + x^{3} - 2 y^{2} + k, k \in R

Le derivate incrociate coincidono in ogni punto, quindi il campo è irrotazionale su $R^{2}$ . Poiché $R^{2}$ è semplicemente connesso, il teorema sui campi irrotazionali su domini semplicemente connessi si applica e il campo è conservativo. Il potenziale si costruisce per integrazione successiva: integrando la prima componente rispetto a $x$ , con $y$ trattata come una costante, si ottiene $x^{2} y + x^{3}$ più una funzione $c (y)$ della sola $y$ . Derivando rispetto a $y$ e imponendo che il risultato coincida con la seconda componente si ricava $c^{'} (y) = - 4 y$ , perciò $c (y) = - 2 y^{2} + k$ . La verifica finale conferma che il gradiente di $U$ è $F$ .

Esercizio 2

Stabilire se il campo

F (x, y) = (x - y^{2}, 2 x y)

è conservativo su $R^{2}$ .

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = - 2 y, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} = 2 y

- 2 y \neq = 2 y per y \neq = 0

Il campo non è conservativo su $R^{2}$ .

Un campo conservativo di classe $C^{1}$ è irrotazionale, quindi l’uguaglianza delle derivate incrociate è una condizione necessaria. Qui la derivata di $F_{1}$ rispetto a $y$ vale $- 2 y$ e la derivata di $F_{2}$ rispetto a $x$ vale $2 y$ ; le due funzioni coincidono solo sui punti con $y = 0$ , non su tutto $R^{2}$ . Poiché la condizione necessaria non è soddisfatta, il campo non è conservativo e la costruzione del potenziale non va tentata.

Esercizio 3

Stabilire se il campo

F (x, y) = (y cos (x y) + 2 x, x cos (x y) - 3 y^{2})

è conservativo su $R^{2}$ e, in caso affermativo, determinarne i potenziali.

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = cos (x y) - x y sin (x y), \frac{\partial F _{2}}{\partial x} = cos (x y) - x y sin (x y)

U (x, y) = \int (y cos (x y) + 2 x) d x + c (y) = sin (x y) + x^{2} + c (y)

U_{y} = x cos (x y) + c^{'} (y) = x cos (x y) - 3 y^{2} ⟹ c^{'} (y) = - 3 y^{2}

U (x, y) = sin (x y) + x^{2} - y^{3} + k, k \in R

La derivata di $F_{1}$ rispetto a $y$ si calcola con la regola del prodotto sul termine $y cos (x y)$ e vale $cos (x y) - x y sin (x y)$ ; lo stesso calcolo su $x cos (x y)$ dà la derivata di $F_{2}$ rispetto a $x$ , che è identica. Il campo è quindi irrotazionale sul dominio semplicemente connesso $R^{2}$ , perciò è conservativo. Nell’integrazione rispetto a $x$ il termine $y cos (x y)$ ha primitiva $sin (x y)$ , poiché la derivata di $sin (x y)$ rispetto a $x$ è $y cos (x y)$ . Imponendo $U_{y} = F_{2}$ il termine $x cos (x y)$ si semplifica da entrambi i membri e resta $c^{'} (y) = - 3 y^{2}$ , quindi $c (y) = - y^{3} + k$ .

Esercizio 4

Stabilire se il campo

F (x, y, z) = (y z + 2 x, x z, x y + 1)

è conservativo su $R^{3}$ e, in caso affermativo, determinarne i potenziali.

rot F = (x - x, y - y, z - z) = (0, 0, 0)

U (x, y, z) = \int (y z + 2 x) d x + c (y, z) = x y z + x^{2} + c (y, z)

U_{y} = x z + c_{y} = x z ⟹ c_{y} = 0 ⟹ c = c (z)

U_{z} = x y + c^{'} (z) = x y + 1 ⟹ c^{'} (z) = 1 ⟹ c (z) = z + k

U (x, y, z) = x y z + x^{2} + z + k, k \in R

Nello spazio la condizione necessaria è l’annullarsi del rotore. La prima componente del rotore è la derivata di $x y + 1$ rispetto a $y$ meno la derivata di $x z$ rispetto a $z$ , cioè $x - x = 0$ ; le altre due componenti si annullano con lo stesso calcolo. Poiché $R^{3}$ è semplicemente connesso, il campo è conservativo. L’integrazione successiva ha tre passi: integrando $F_{1}$ rispetto a $x$ si ottiene $x y z + x^{2}$ più una funzione $c (y, z)$ delle altre due variabili; imponendo $U_{y} = F_{2}$ risulta $c_{y} = 0$ , quindi $c$ dipende dalla sola $z$ ; imponendo $U_{z} = F_{3}$ risulta $c^{'} (z) = 1$ , perciò $c (z) = z + k$ .