Esercizi svolti · Scheda 3

Lavoro di campi non conservativi con il calcolo diretto

Teoria usata: Lavoro e circuitazione Campo irrotazionale (campo chiuso)Caratterizzazione dei campi conservativi

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Esercizio 1

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (y, x^{2})

lungo il segmento da $(0, 0)$ a $(1, 1)$ .

\frac{\partial F _{1}}{\partial y} = 1, \frac{\partial F _{2}}{\partial x} = 2 x

r (t) = (t, t), t \in [0, 1], r^{'} (t) = (1, 1)

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) = t \cdot 1 + t^{2} \cdot 1 = t + t^{2}

\int_{γ} F \cdot d r = \int_{0}^{1} (t + t^{2}) d t = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}

Le derivate incrociate valgono $1$ e $2 x$ e non coincidono, quindi il campo non è conservativo e il lavoro va calcolato con la definizione. Il segmento si parametrizza con $r (t) = (t, t)$ per $t \in [0, 1]$ , con derivata $r^{'} (t) = (1, 1)$ . Sostituendo la parametrizzazione nelle componenti del campo si ottiene $F (r (t)) = (t, t^{2})$ , e il prodotto scalare con $r^{'} (t)$ vale $t + t^{2}$ . L’integrale di questa funzione su $[0, 1]$ dà $\frac{5}{6}$ .

Esercizio 2

Calcolare il lavoro del campo

F (x, y) = (y^{2}, - x)

lungo l’arco della parabola $y = x^{2}$ da $(0, 0)$ a $(1, 1)$ .

r (t) = (t, t^{2}), t \in [0, 1], r^{'} (t) = (1, 2 t)

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) = t^{4} \cdot 1 + (- t) \cdot 2 t = t^{4} - 2 t^{2}

\int_{γ} F \cdot d r = \int_{0}^{1} (t^{4} - 2 t^{2}) d t = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} = - \frac{7}{15}

Il campo non è conservativo, poiché la derivata di $y^{2}$ rispetto a $y$ vale $2 y$ e la derivata di $- x$ rispetto a $x$ vale $- 1$ . L’arco di parabola si parametrizza con $x = t$ e $y = t^{2}$ per $t \in [0, 1]$ , quindi $r^{'} (t) = (1, 2 t)$ . Le componenti del campo lungo la curva sono $F_{1} = (t^{2})^{2} = t^{4}$ e $F_{2} = - t$ , perciò l’integrando è $t^{4} - 2 t^{2}$ . Il lavoro è negativo: lungo questo arco il campo compie lavoro resistente, poiché in media forma un angolo ottuso con la direzione di avanzamento.

Esercizio 3

Calcolare la circuitazione del campo

F (x, y) = (- y, x)

lungo la circonferenza $x^{2} + y^{2} = 1$ percorsa in verso antiorario, e dedurne che il campo non è conservativo.

r (t) = (cos t, sin t), t \in [0, 2 π], r^{'} (t) = (- sin t, cos t)

F (r (t)) \cdot r^{'} (t) = (- sin t) (- sin t) + cos t \cdot cos t = 1

\oint_{γ} F \cdot d r = \int_{0}^{2 π} 1 d t = 2 π

Sulla circonferenza unitaria il campo vale $F (r (t)) = (- sin t, cos t)$ , che coincide con il vettore tangente $r^{'} (t)$ : il campo è in ogni punto tangente alla circonferenza e concorde con il verso di percorrenza. Il prodotto scalare è quindi $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ e la circuitazione vale $2 π$ . Per il teorema di caratterizzazione un campo conservativo ha circuitazione nulla lungo ogni curva chiusa; poiché questa circuitazione è diversa da zero, il campo non è conservativo su $R^{2}$ . Allo stesso risultato si arriva con le derivate incrociate, che valgono $- 1$ e $1$ .