Esercizi svolti · Scheda 2

Studi di funzioni con valore assoluto

Teoria usata: Schema dello studio di funzione Massimo e minimo relativo Criterio della derivata prima Punto di flesso Grafico qualitativo

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Esercizio 1

Studiare la funzione

f (x) = x^{2} - 2∣ x ∣

e tracciarne il grafico qualitativo.

Dominio. L’espressione è definita per ogni $x$ , quindi $D = R$ .

Simmetrie e periodicità. $f (- x) = (- x)^{2} - 2∣ - x ∣ = x^{2} - 2∣ x ∣ = f (x)$ , quindi la funzione è pari e il grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ ; non è periodica.

Segno e intersezioni. Poiché $x^{2} = ∣ x ∣^{2}$ , si può scrivere $f (x) = ∣ x ∣ (∣ x ∣ - 2)$ . Il fattore $∣ x ∣$ è non negativo, quindi $f (x) > 0$ per $∣ x ∣ > 2$ , $f (x) < 0$ per $0 < ∣ x ∣ < 2$ , e $f (x) = 0$ per $x = 0$ e $x = \pm 2$ .

Limiti e asintoti. Il dominio è illimitato da entrambe le parti e

x \to \pm \infty lim f (x) = + \infty.

Poiché $\frac{f ( x )}{x} = x - 2 \frac{∣ x ∣}{x} \to \pm \infty$ per $x \to \pm \infty$ , non esistono asintoti obliqui; non ci sono asintoti verticali né orizzontali.

Continuità. $f$ è somma di funzioni continue, quindi è continua su $R$ .

Derivabilità. Eliminando il valore assoluto,

f (x) = {x^{2} - 2 x x^{2} + 2 x se x \geq 0 se x < 0 f^{'} (x) = {2 x - 2 2 x + 2 se x > 0 se x < 0

In $0$ i limiti laterali di $f^{'}$ valgono $- 2$ da destra e $2$ da sinistra; poiché sono finiti e diversi, $0$ è un punto angoloso e $f$ è derivabile su $R ∖ {0}$ .

Monotonia, massimi e minimi. Per $x < 0$ si ha $f^{'} (x) > 0$ quando $x > - 1$ ; per $x > 0$ si ha $f^{'} (x) > 0$ quando $x > 1$ . Per il test di monotonia $f$ è decrescente su $(- \infty, - 1]$ , crescente su $[- 1, 0]$ , decrescente su $[0, 1]$ , crescente su $[1, + \infty)$ . Per il criterio della derivata prima $\pm 1$ sono punti di minimo relativo con $f (\pm 1) = - 1$ , mentre $0$ è punto di massimo relativo con $f (0) = 0$ , pur senza essere stazionario. Poiché $f (x) = (∣ x ∣ - 1)^{2} - 1 \geq - 1$ per ogni $x$ , il valore $- 1$ è anche minimo assoluto; il massimo assoluto non esiste, perché $f$ tende a $+ \infty$ .

Concavità e flessi. Su ciascuno dei due intervalli $(- \infty, 0)$ e $(0, + \infty)$ si ha $f^{''} (x) = 2 > 0$ , quindi $f$ è convessa su ognuno dei due; non ci sono flessi. Su tutto $R$ la funzione non è convessa, perché il segmento che congiunge i punti $(- 1, - 1)$ e $(1, - 1)$ del grafico passa sotto il punto $(0, 0)$ .

Grafico.

y = x² - 2|x|: punto angoloso in (0, 0), minimi in (-1, -1) e (1, -1)

Il punto delicato è l’origine. La funzione vi è continua, ma le due espressioni ai lati hanno pendenze diverse: il rapporto incrementale tende a $2$ da sinistra e a $- 2$ da destra, quindi in $0$ il grafico ha un punto angoloso. Il teorema di Fermat non si applica, perché richiede la derivabilità nel punto; il massimo relativo in $0$ si riconosce invece con il criterio della derivata prima, che richiede soltanto la continuità in $0$ e il segno di $f^{'}$ ai due lati, positivo prima e negativo dopo.

Il minimo assoluto si giustifica senza limiti con il completamento del quadrato: da $f (x) = ∣ x ∣^{2} - 2∣ x ∣ = (∣ x ∣ - 1)^{2} - 1$ segue $f (x) \geq - 1$ per ogni $x$ , e l’uguaglianza vale quando $∣ x ∣ = 1$ . Il confronto dei soli valori nei candidati non basterebbe, perché il dominio non è un intervallo chiuso e limitato e il teorema di Weierstrass non si applica.

Esercizio 2

Studiare la funzione

f (x) = ∣ x^{2} - 1∣

e tracciarne il grafico qualitativo.

Dominio. $D = R$ .

Simmetrie e periodicità. $f (- x) = ∣ x^{2} - 1∣ = f (x)$ , quindi la funzione è pari; non è periodica.

Segno e intersezioni. Un valore assoluto è sempre non negativo, quindi $f (x) \geq 0$ per ogni $x$ e $f (x) = 0$ solo dove $x^{2} - 1 = 0$ , cioè in $x = \pm 1$ . L’intersezione con l’asse $y$ è il punto $(0, 1)$ .

Limiti e asintoti. $f (x) \to + \infty$ per $x \to \pm \infty$ ; poiché $\frac{f ( x )}{x} \to \pm \infty$ , non ci sono asintoti di alcun tipo.

Continuità. $f$ è composizione del polinomio $x^{2} - 1$ con il valore assoluto, entrambi continui, quindi è continua su $R$ .

Derivabilità. Eliminando il valore assoluto,

f (x) = {x^{2} - 1 1 - x^{2} se ∣ x ∣ \geq 1 se ∣ x ∣ < 1 f^{'} (x) = {2 x - 2 x se ∣ x ∣ > 1 se ∣ x ∣ < 1

In $x = 1$ i limiti laterali di $f^{'}$ valgono $- 2$ da sinistra e $2$ da destra, quindi $1$ è un punto angoloso; per simmetria lo è anche $- 1$ . $f$ è derivabile su $R ∖ {- 1, 1}$ .

Monotonia, massimi e minimi. Il segno di $f^{'}$ dà: $f$ decrescente su $(- \infty, - 1]$ , crescente su $[- 1, 0]$ , decrescente su $[0, 1]$ , crescente su $[1, + \infty)$ . Per il criterio della derivata prima $0$ è punto di massimo relativo con $f (0) = 1$ , mentre $\pm 1$ sono punti di minimo relativo con $f (\pm 1) = 0$ . Poiché $f (x) \geq 0$ ovunque e il valore $0$ è assunto, $0$ è il minimo assoluto; il massimo assoluto non esiste.

Concavità e flessi. Per $∣ x ∣ > 1$ si ha $f^{''} (x) = 2 > 0$ , quindi $f$ è convessa su $(- \infty, - 1)$ e su $(1, + \infty)$ ; per $∣ x ∣ < 1$ si ha $f^{''} (x) = - 2 < 0$ , quindi $f$ è concava su $(- 1, 1)$ . La concavità cambia verso in $\pm 1$ , ma in quei punti il grafico non ammette retta tangente, perché sono punti angolosi; quindi $\pm 1$ non sono punti di flesso.

Grafico.

y = |x² - 1|: punti angolosi in (-1, 0) e (1, 0), massimo relativo in (0, 1)

Il grafico si ottiene da quello della parabola $y = x^{2} - 1$ ribaltando sopra l’asse $x$ la parte compresa tra $- 1$ e $1$ , dove la parabola è negativa. Il ribaltamento spiega sia i punti angolosi, prodotti dal cambio brusco di pendenza nei punti in cui l’argomento si annulla, sia il massimo relativo in $0$ , immagine del vertice della parabola.

In $\pm 1$ la concavità cambia verso, ma la definizione di punto di flesso richiede l’esistenza della retta tangente nel punto. Dato che in un punto angoloso le due semirette tangenti sono distinte, la tangente non esiste, perciò $\pm 1$ non sono flessi; sono punti di minimo con cambio di concavità.