Esercizi svolti · Scheda 1

Studi di funzioni razionali

Teoria usata: Schema dello studio di funzione Test di monotonia Criterio della derivata prima Convessità e derivata seconda Tabella dei segni di f' e f''Grafico qualitativo

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Esercizio 1

Studiare la funzione

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}

e tracciarne il grafico qualitativo.

Dominio. Il denominatore deve essere diverso da zero, quindi $D = (- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ .

Simmetrie e periodicità. $f (- x) = \frac{x ^{2}}{- x - 1}$ è diversa sia da $f (x)$ sia da $- f (x)$ , quindi la funzione non è né pari né dispari; non è periodica.

Segno e intersezioni. Il numeratore $x^{2}$ è positivo per $x \neq = 0$ e nullo in $0$ , quindi il segno di $f$ coincide con il segno di $x - 1$ . Perciò $f (x) > 0$ per $x > 1$ , $f (x) < 0$ per $x < 1$ con $x \neq = 0$ , e il grafico interseca gli assi solo nell’origine.

Limiti e asintoti. La divisione tra i polinomi dà

f (x) = x + 1 + \frac{1}{x - 1} .

Agli estremi del dominio:

x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty, x \to 1^{-} lim f (x) = - \infty, x \to 1^{+} lim f (x) = + \infty,

quindi $x = 1$ è asintoto verticale. Poiché $f (x) - (x + 1) = \frac{1}{x - 1} \to 0$ per $x \to \pm \infty$ , la retta $y = x + 1$ è asintoto obliquo da entrambe le parti.

Continuità. $f$ è un quoziente di polinomi con denominatore non nullo su $D$ , quindi è continua su $D$ .

Derivabilità e monotonia. $f$ è derivabile su tutto $D$ e

f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}} .

Il denominatore è positivo su $D$ , quindi $f^{'} (x) > 0$ per $x < 0$ oppure $x > 2$ . Per il test di monotonia $f$ è crescente su $(- \infty, 0]$ , decrescente su $[0, 1)$ , decrescente su $(1, 2]$ , crescente su $[2, + \infty)$ .

Massimi e minimi. I punti stazionari sono $0$ e $2$ . In $0$ la derivata passa da positiva a negativa, quindi per il criterio della derivata prima $0$ è punto di massimo relativo con $f (0) = 0$ ; in $2$ la derivata passa da negativa a positiva, quindi $2$ è punto di minimo relativo con $f (2) = 4$ . Poiché $f$ tende a $+ \infty$ e a $- \infty$ , massimo e minimo assoluti non esistono.

Concavità e flessi. Derivando $f^{'} (x) = 1 - (x - 1)^{- 2}$ si ottiene

f^{''} (x) = \frac{2}{( x - 1 ) ^{3}},

negativa per $x < 1$ e positiva per $x > 1$ . La funzione è concava su $(- \infty, 1)$ e convessa su $(1, + \infty)$ ; il cambio di concavità avviene in $x = 1$ , che non appartiene al dominio, quindi non ci sono flessi.

Grafico.

y = x²/(x - 1): massimo in (0, 0), minimo in (2, 4), asintoto obliquo y = x + 1

La divisione con resto tra numeratore e denominatore, $x^{2} = (x - 1) (x + 1) + 1$ , è il passaggio che semplifica tutto lo studio. Dato che la differenza $f (x) - (x + 1)$ è $\frac{1}{x - 1}$ e tende a $0$ , la retta $y = x + 1$ è asintoto obliquo senza bisogno di calcolare separatamente i limiti di $\frac{f ( x )}{x}$ e di $f (x) - m x$ . La stessa scrittura rende immediata la derivata seconda.

Per i limiti laterali in $1$ il numeratore tende a $1 > 0$ , mentre il denominatore tende a $0$ cambiando segno: da sinistra $x - 1 < 0$ , quindi il quoziente tende a $- \infty$ ; da destra $x - 1 > 0$ , quindi tende a $+ \infty$ . Il risultato è coerente con il segno già trovato, poiché $f < 0$ a sinistra di $1$ e $f > 0$ a destra.

Il valore del massimo relativo, $f (0) = 0$ , è minore del valore del minimo relativo, $f (2) = 4$ . Nessuna regola impone il contrario: i due punti stanno su rami separati dall’asintoto verticale, e su ciascun ramo la funzione raggiunge valori arbitrariamente grandi e arbitrariamente piccoli.

Esercizio 2

Studiare la funzione

f (x) = \frac{x ^{2} + 4}{x}

e tracciarne il grafico qualitativo.

Dominio. Il denominatore si annulla in $0$ , quindi $D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ .

Simmetrie e periodicità. $f (- x) = \frac{x ^{2} + 4}{- x} = - f (x)$ , quindi la funzione è dispari e il grafico è simmetrico rispetto all’origine; non è periodica.

Segno e intersezioni. Il numeratore $x^{2} + 4$ è sempre positivo, quindi il segno di $f$ è il segno di $x$ . Si ha $f (x) > 0$ per $x > 0$ e $f (x) < 0$ per $x < 0$ ; la funzione non si annulla mai e il grafico non interseca gli assi.

Limiti e asintoti. Conviene scrivere

f (x) = x + \frac{4}{x} .

Agli estremi del dominio:

x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty, x \to 0^{-} lim f (x) = - \infty, x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty,

quindi $x = 0$ è asintoto verticale. Poiché $f (x) - x = \frac{4}{x} \to 0$ per $x \to \pm \infty$ , la retta $y = x$ è asintoto obliquo da entrambe le parti.

Continuità. $f$ è un quoziente di polinomi con denominatore non nullo su $D$ , quindi è continua su $D$ .

Derivabilità e monotonia. $f$ è derivabile su $D$ e

f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 4}{x ^{2}} .

Quindi $f^{'} (x) > 0$ per $∣ x ∣ > 2$ . Per il test di monotonia $f$ è crescente su $(- \infty, - 2]$ , decrescente su $[- 2, 0)$ , decrescente su $(0, 2]$ , crescente su $[2, + \infty)$ .

Massimi e minimi. I punti stazionari sono $- 2$ e $2$ . Per il criterio della derivata prima $- 2$ è punto di massimo relativo con $f (- 2) = - 4$ , mentre $2$ è punto di minimo relativo con $f (2) = 4$ , in accordo con la simmetria dispari. Massimo e minimo assoluti non esistono, perché la funzione è illimitata in entrambi i versi.

Concavità e flessi. Derivando $f^{'} (x) = 1 - 4 x^{- 2}$ si ottiene

f^{''} (x) = \frac{8}{x ^{3}},

negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$ . La funzione è concava su $(- \infty, 0)$ e convessa su $(0, + \infty)$ ; il punto $0$ non appartiene al dominio, quindi non ci sono flessi.

Grafico.

y = (x² + 4)/x: massimo in (-2, -4), minimo in (2, 4), asintoto obliquo y = x

La simmetria dispari, verificata al secondo passo, dimezza il lavoro: ogni risultato trovato per $x > 0$ si trasporta su $x < 0$ cambiando segno a entrambe le coordinate. Il minimo relativo $(2, 4)$ dà il massimo relativo $(- 2, - 4)$ , e la convessità su $(0, + \infty)$ dà la concavità su $(- \infty, 0)$ .

Sul ramo destro la funzione è positiva, decresce fino al valore $4$ e poi cresce verso $+ \infty$ lungo l’asintoto $y = x$ : il valore $4$ è il minimo di quel ramo, cioè $f (x) \geq 4$ per ogni $x > 0$ . Non è però un minimo assoluto, perché sul ramo sinistro la funzione assume valori negativi arbitrariamente grandi in modulo.