Limiti all'infinito di rapporti di polinomi

Per $x\to +\infty$ numeratore e denominatore tendono entrambi a $+\infty$, quindi il rapporto si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$. Si raccoglie in ciascuno la potenza di grado massimo, $x^2$, che poi si semplifica perché $x\ne 0$. I termini $\frac{1}{x}$, $\frac{5}{x^2}$ e $\frac{7}{x^2}$ tendono a $0$, perciò il rapporto tende a $\frac{3}{2}$.

Per $x\to +\infty$ numeratore e denominatore tendono entrambi a $+\infty$, quindi il rapporto si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty }{\infty }$. Si raccoglie la potenza di grado massimo di ciascun polinomio: $x^2$ al numeratore e $x^3$ al denominatore. Dopo la semplificazione resta il fattore $\frac{1}{x}$, che tende a $0$, moltiplicato per una frazione che tende a $\frac{3}{1}=3$. Poiché il prodotto di una funzione infinitesima per una funzione con limite finito è infinitesimo, il limite è $0$. Il grado del denominatore supera quello del numeratore, e questo raccoglimento mostra perché in tal caso il rapporto tende sempre a $0$.

Per $x\to -\infty$ il numeratore tende a $+\infty$, perché la potenza $x^4$ ha esponente pari, mentre il denominatore tende a $-\infty$, perché $x^3$ ha esponente dispari. Si raccoglie la potenza di grado massimo di ciascun polinomio, $x^4$ sopra e $x^3$ sotto, e dopo la semplificazione resta il fattore $x$ moltiplicato per una frazione. I termini $\frac{2}{x^3}$ e $\frac{1}{x^3}$ tendono a $0$, quindi la frazione tende a $1$. Il prodotto di una funzione che tende a $-\infty$ per una funzione con limite $1$ tende a $-\infty$, perciò il limite è $-\infty$. Il segno del risultato dipende dal verso dell’infinito: per $x\to +\infty$ lo stesso rapporto tende invece a $+\infty$.