Limiti con razionalizzazione

Per $x\to 0$ il numeratore tende a $\sqrt{1}-1=0$ e il denominatore tende a $0$, quindi si ha la forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Si moltiplicano numeratore e denominatore per $\sqrt{1+x}+1$: al numeratore compare il prodotto $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ con $a=\sqrt{1+x}$ e $b=1$, che dà $x$. Il fattore $x$ si semplifica perché nel limite $x\ne 0$. La funzione che resta è continua in $0$, perciò il limite è il suo valore in $0$, cioè $\frac{1}{2}$.

Per $x\to 4$ il numeratore tende a $\sqrt{4}-2=0$ e il denominatore tende a $0$, quindi si ha la forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Si moltiplicano numeratore e denominatore per $\sqrt{x}+2$: al numeratore compare il prodotto $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ con $a=\sqrt{x}$ e $b=2$, che dà $x-4$. Il fattore $x-4$ si semplifica perché nel limite $x\ne 4$. La funzione $\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ è continua in $4$, perciò il limite è il suo valore in $4$, cioè $\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$.

Per $x\to 1$ il numeratore tende a $\sqrt{4}-2=0$ e il denominatore tende a $\sqrt{1}-1=0$, quindi si ha la forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Le radici compaiono sia sopra sia sotto, perciò si razionalizza due volte: si moltiplica per $\sqrt{x+3}+2$, che trasforma il numeratore in $(x+3)-4=x-1$, e per $\sqrt{x}+1$, che trasforma il denominatore in $x-1$. In entrambi i casi si usa il prodotto $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Il fattore comune $x-1$ si semplifica perché nel limite $x\ne 1$. La funzione rimasta è continua in $1$, perciò il limite è il suo valore in $1$, cioè $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.