Esercizi svolti · Scheda 3

Equazioni lineari del primo ordine

Teoria usata: Equazione lineare del primo ordine Formula risolutiva con il fattore integrante Struttura dell'integrale generale

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Esercizio 1

Determinare l’integrale generale di

y^{'} + y = e^{x} .

Qui $a (x) = 1$ , quindi $A (x) = x$ e il fattore integrante è $e^{x}$ :

(e^{x} y)^{'} = e^{x} (y^{'} + y) = e^{2 x}

e^{x} y = \int e^{2 x} d x = \frac{e ^{2 x}}{2} + C

y = \frac{e ^{x}}{2} + C e^{- x}, C \in R .

L’equazione è lineare con $a (x) = 1$ e $b (x) = e^{x}$ , quindi si moltiplica per il fattore integrante $e^{A (x)}$ con $A$ primitiva di $a$ , cioè per $e^{x}$ . Dopo la moltiplicazione, il primo membro è la derivata del prodotto $e^{x} y$ , perciò l’equazione si integra direttamente. Una primitiva di $e^{2 x}$ è $\frac{e ^{2 x}}{2}$ , e dividendo per $e^{x}$ si ottiene l’integrale generale. Il termine $C e^{- x}$ è l’integrale generale dell’omogenea associata $y^{'} + y = 0$ , mentre $\frac{e ^{x}}{2}$ è una soluzione particolare della completa, in accordo con il teorema di struttura.

Esercizio 2

Determinare l’integrale generale di

y^{'} + 2 x y = x .

Qui $a (x) = 2 x$ , quindi $A (x) = x^{2}$ e il fattore integrante è $e^{x^{2}}$ :

(e^{x^{2}} y)^{'} = x e^{x^{2}}

e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x = \frac{e ^{x^{2}}}{2} + C

y = \frac{1}{2} + C e^{- x^{2}}, C \in R .

Il coefficiente $a (x) = 2 x$ non è costante, quindi il fattore integrante contiene la sua primitiva $x^{2}$ . Moltiplicando per $e^{x^{2}}$ , il primo membro diventa la derivata di $e^{x^{2}} y$ e il secondo membro diventa $x e^{x^{2}}$ . Questa funzione si integra riconoscendo che la derivata di $e^{x^{2}}$ è $2 x e^{x^{2}}$ , perciò una primitiva di $x e^{x^{2}}$ è $\frac{e ^{x^{2}}}{2}$ . Dividendo per $e^{x^{2}}$ si ottiene l’integrale generale, somma della soluzione costante particolare $\frac{1}{2}$ e dell’integrale generale dell’omogenea $C e^{- x^{2}}$ . La costante $y \equiv \frac{1}{2}$ si può anche verificare direttamente, poiché ha derivata nulla e $2 x \cdot \frac{1}{2} = x$ .

Esercizio 3

Determinare l’integrale generale, per $x > 0$ , di

y^{'} - \frac{y}{x} = x^{2} .

Qui $a (x) = - \frac{1}{x}$ , quindi $A (x) = - ln x$ e il fattore integrante è $e^{- l n x} = \frac{1}{x}$ :

(\frac{y}{x})^{'} = \frac{1}{x} (y^{'} - \frac{y}{x}) = x

\frac{y}{x} = \int x d x = \frac{x ^{2}}{2} + C

y = \frac{x ^{3}}{2} + C x, C \in R .

Per $x > 0$ i coefficienti $a (x) = - \frac{1}{x}$ e $b (x) = x^{2}$ sono continui, quindi la formula risolutiva si applica su questa semiretta. Una primitiva di $- \frac{1}{x}$ è $- ln x$ , perciò il fattore integrante è $e^{- l n x}$ , cioè $\frac{1}{x}$ . Dopo la moltiplicazione, il primo membro è la derivata del quoziente $\frac{y}{x}$ , come si verifica con la regola di derivazione del prodotto applicata a $y \cdot \frac{1}{x}$ . L’integrazione dà $\frac{y}{x} = \frac{x ^{2}}{2} + C$ , e moltiplicando per $x$ si ottiene l’integrale generale: il termine $C x$ risolve l’omogenea associata, il termine $\frac{x ^{3}}{2}$ è una soluzione particolare della completa.