Esercizi svolti · Scheda 2

Problemi di Cauchy per equazioni a variabili separabili

Teoria usata: Equazione a variabili separabili Metodo di separazione delle variabili Problema di Cauchy Esistenza e unicità locale

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Esercizio 1

Risolvere il problema di Cauchy e indicare l’intervallo di esistenza della soluzione:

{y^{'} = y^{2} y (0) = 1

Integrale generale. La costante $y \equiv 0$ è soluzione, ma non soddisfa la condizione iniziale. Per $y \neq = 0$ :

\int \frac{d y}{y ^{2}} = \int d x ⟹ - \frac{1}{y} = x + C ⟹ y = - \frac{1}{x + C} .

Condizione iniziale.

y (0) = - \frac{1}{C} = 1 ⟹ C = - 1 ⟹ y = \frac{1}{1 - x} .

Intervallo di esistenza. La soluzione è definita su $(- \infty, 1)$ , l’intervallo contenente $x_{0} = 0$ in cui il denominatore non si annulla.

La funzione $f (x, y) = y^{2}$ e la sua derivata parziale rispetto a $y$ sono continue in tutto il piano, quindi il teorema di esistenza e unicità locale si applica e la soluzione è unica. La soluzione nulla va scartata subito, poiché in $x = 0$ vale $0$ e la condizione iniziale richiede il valore $1$ . Separando le variabili e integrando si ottiene la famiglia $y = - \frac{1}{x + C}$ ; la condizione iniziale determina $C = - 1$ . La formula $\frac{1}{1 - x}$ definisce una funzione su due intervalli separati dal punto $x = 1$ , ma la soluzione del problema di Cauchy è una funzione su un intervallo contenente il punto iniziale, perciò si tiene soltanto $(- \infty, 1)$ . Per $x \to 1^{-}$ la soluzione tende a $+ \infty$ : l’intervallo di esistenza è limitato a destra anche se $f$ è definita ovunque.

Esercizio 2

Risolvere il problema di Cauchy e indicare l’intervallo di esistenza della soluzione:

⎩ ⎨ ⎧ y^{'} = - \frac{x}{y} y (0) = 2

\int y d y = \int (- x) d x ⟹ \frac{y ^{2}}{2} = - \frac{x ^{2}}{2} + C ⟹ y^{2} = 2 C - x^{2} .

Condizione iniziale. $y (0)^{2} = 2 C = 4$ , quindi $y^{2} = 4 - x^{2}$ ; poiché $y (0) = 2 > 0$ si sceglie la radice positiva:

y = 4 - x^{2} .

Intervallo di esistenza. La soluzione è definita su $(- 2, 2)$ .

L’equazione è a variabili separabili con $h (y) = \frac{1}{y}$ , definita per $y \neq = 0$ ; la condizione iniziale assegna il valore $2$ , quindi si lavora nella regione $y > 0$ . Moltiplicando per $y$ e integrando si ottiene la relazione $y^{2} = 2 C - x^{2}$ , che descrive una famiglia di circonferenze centrate nell’origine. La condizione iniziale fissa $2 C = 4$ . L’estrazione di radice produce due funzioni, una positiva e una negativa; poiché il valore iniziale è positivo, la soluzione è la radice positiva. Agli estremi $x = \pm 2$ la soluzione vale $0$ e l’equazione perde significato, dato che il denominatore $y$ si annulla e la derivata tende all’infinito; perciò l’intervallo di esistenza è l’intervallo aperto $(- 2, 2)$ .

Esercizio 3

Risolvere il problema di Cauchy e indicare l’intervallo di esistenza della soluzione:

{y^{'} = (2 x + 1) e^{- y} y (0) = 0

\int e^{y} d y = \int (2 x + 1) d x ⟹ e^{y} = x^{2} + x + C .

Condizione iniziale. $e^{0} = C = 1$ , quindi

e^{y} = x^{2} + x + 1 ⟹ y = ln (x^{2} + x + 1) .

Intervallo di esistenza. Il discriminante di $x^{2} + x + 1$ è $1 - 4 = - 3 < 0$ , quindi il polinomio è sempre positivo e la soluzione è definita su tutto $R$ .

L’equazione è a variabili separabili con $g (x) = 2 x + 1$ e $h (y) = e^{- y}$ ; il fattore $e^{- y}$ non si annulla mai, quindi non esistono soluzioni costanti. Moltiplicando per $e^{y}$ e integrando si ottiene $e^{y} = x^{2} + x + C$ , e la condizione iniziale dà $C = 1$ . Il logaritmo si applica solo dove il secondo membro è positivo, perciò l’intervallo di esistenza coincide con l’insieme in cui $x^{2} + x + 1 > 0$ attorno al punto iniziale. Il discriminante del trinomio è negativo e il coefficiente di $x^{2}$ è positivo, quindi il trinomio è positivo per ogni $x$ e la soluzione è definita su tutto $R$ .