Esercizi svolti · Scheda 2

Raggio e insieme di convergenza con il criterio della radice

Teoria usata: Criterio della radice per il raggio Teorema del raggio di convergenza Insieme di convergenza Studio degli estremi

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Esercizio 1

Determinare raggio e insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty (\frac{2 n + 1}{3 n + 1})^{n} x^{n} .

a_{n} = (\frac{2 n + 1}{3 n + 1})^{n}, n ∣ a_{n} ∣ = \frac{2 n + 1}{3 n + 1} n \to \infty \frac{2}{3}

R = \frac{3}{2}

x = \pm \frac{3}{2} : ∣ a_{n} ∣ (\frac{3}{2})^{n} = (\frac{6 n + 3}{6 n + 2})^{n} = (1 + \frac{1}{6 n + 2})^{n} n \to \infty e^{1/6} \neq = 0

E = (- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})

Il coefficiente $a_{n}$ è una potenza $n$ -esima, quindi il criterio della radice è la scelta naturale: la radice $n$ -esima elimina l’esponente e lascia il rapporto $\frac{2 n + 1}{3 n + 1}$ , che tende a $\frac{2}{3}$ . Il raggio è il reciproco, cioè $R = \frac{3}{2}$ . Negli estremi il modulo del termine generale è $(1 + \frac{1}{6 n + 2})^{n}$ ; poiché $n ln (1 + \frac{1}{6 n + 2}) \to \frac{1}{6}$ , questo modulo tende a $e^{1/6}$ , che è diverso da $0$ . La condizione necessaria di convergenza non è soddisfatta in nessuno dei due estremi, quindi l’insieme di convergenza è l’intervallo aperto.

Esercizio 2

Determinare raggio e insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{( ln ( n + 1 ) ) ^{n}} .

a_{n} = \frac{1}{( ln ( n + 1 ) ) ^{n}}, n ∣ a_{n} ∣ = \frac{1}{ln ( n + 1 )} n \to \infty 0

R = + \infty, E = R

Il denominatore è la potenza $n$ -esima di $ln (n + 1)$ , quindi la radice $n$ -esima del modulo del coefficiente è $\frac{1}{ln ( n + 1 )}$ , che tende a $0$ perché il logaritmo tende a $+ \infty$ . Per la convenzione del criterio della radice, limite nullo significa raggio infinito: la serie converge assolutamente per ogni $x$ reale e non ci sono estremi da studiare.

Esercizio 3

Determinare raggio e insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}} x^{n} .

a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}, n ∣ a_{n} ∣ = (1 + \frac{1}{n})^{n} n \to \infty e

R = \frac{1}{e}

x = \pm \frac{1}{e} : ∣ a_{n} ∣ e^{- n} = exp (n^{2} ln (1 + \frac{1}{n}) - n)

n^{2} ln (1 + \frac{1}{n}) - n = n^{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{2 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})) - n = - \frac{1}{2} + o (1)

∣ a_{n} ∣ e^{- n} n \to \infty e^{- 1/2} \neq = 0 ⟹ E = (- \frac{1}{e}, \frac{1}{e})

La radice $n$ -esima di $(1 + \frac{1}{n})^{n^{2}}$ è $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ , che tende a $e$ per il limite notevole, quindi il raggio è $R = \frac{1}{e}$ . Negli estremi il modulo del termine generale è $∣ a_{n} ∣ e^{- n}$ , che conviene scrivere come esponenziale di $n^{2} ln (1 + \frac{1}{n}) - n$ . Sostituendo lo sviluppo $ln (1 + t) = t - \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2})$ con $t = \frac{1}{n}$ , i termini in $n$ si cancellano e l’esponente tende a $- \frac{1}{2}$ ; quindi il modulo del termine generale tende a $e^{- 1/2}$ , che è diverso da $0$ . La condizione necessaria di convergenza non è soddisfatta negli estremi, perciò l’insieme di convergenza è l’intervallo aperto.