Esercizi svolti · Scheda 1

Raggio e insieme di convergenza con il criterio del rapporto

Teoria usata: Criterio del rapporto per il raggio Teorema del raggio di convergenza Insieme di convergenza Studio degli estremi

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Esercizio 1

Determinare raggio e insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n 5 ^{n}} .

a_{n} = \frac{1}{n 5 ^{n}}, \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{n 5 ^{n}}{( n + 1 ) 5 ^{n + 1}} = \frac{n}{5 ( n + 1 )} n \to \infty \frac{1}{5}

R = 5

x = 5 : n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} diverge x = - 5 : n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} converge

E = [- 5, 5)

Il rapporto tra i moduli di due coefficienti consecutivi tende a $\frac{1}{5}$ , quindi per il criterio del rapporto il raggio è il reciproco, cioè $R = 5$ . La serie converge assolutamente per $∣ x ∣ < 5$ e non converge per $∣ x ∣ > 5$ ; restano da esaminare i due estremi. In $x = 5$ le potenze si semplificano con il fattore $5^{n}$ e resta la serie armonica, che diverge. In $x = - 5$ resta la serie armonica a segni alterni: il termine $\frac{1}{n}$ è decrescente e tende a $0$ , quindi per il criterio di Leibniz la serie converge. L’insieme di convergenza contiene perciò l’estremo sinistro e non il destro.

Esercizio 2

Determinare raggio e insieme di convergenza della serie

n = 0 \sum \infty \frac{n + 1}{2 ^{n}} (x - 3)^{n} .

a_{n} = \frac{n + 1}{2 ^{n}}, \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{n + 2}{2 ^{n + 1}} \cdot \frac{2 ^{n}}{n + 1} = \frac{n + 2}{2 ( n + 1 )} n \to \infty \frac{1}{2}

R = 2, intervallo aperto (1, 5)

x = 5 : n = 0 \sum \infty (n + 1) diverge x = 1 : n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} (n + 1) non converge

E = (1, 5)

La serie è centrata in $x_{0} = 3$ , quindi l’intervallo di convergenza è centrato in $3$ . Il rapporto tra i moduli dei coefficienti tende a $\frac{1}{2}$ , perciò $R = 2$ e l’intervallo aperto è $(1, 5)$ . In $x = 5$ si ha $(x - 3)^{n} = 2^{n}$ , che si semplifica con il denominatore, e resta la serie di termine generale $n + 1$ , che tende a $+ \infty$ : la condizione necessaria di convergenza non è soddisfatta, quindi la serie diverge. In $x = 1$ si ha $(x - 3)^{n} = (- 2)^{n}$ e resta la serie di termine generale $(- 1)^{n} (n + 1)$ , che non tende a $0$ , quindi la serie non converge. Nessuno dei due estremi appartiene all’insieme di convergenza.

Esercizio 3

Determinare raggio e insieme di convergenza della serie

n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}} x^{n} .

a_{n} = \frac{n !}{n ^{n}}, \frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{( n + 1 )! n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1} n !} = \frac{n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n}} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} n \to \infty \frac{1}{e}

R = e

x = \pm e : b_{n} = \frac{n ! e ^{n}}{n ^{n}}, \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{e}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} > 1 ⟹ b_{n} \geq b_{1} = e per ogni n

E = (- e, e)

Il rapporto tra i coefficienti si semplifica fino a $(1 + \frac{1}{n})^{- n}$ , che tende a $\frac{1}{e}$ per il limite notevole del numero $e$ ; quindi il raggio è $R = e$ . Negli estremi $x = \pm e$ il modulo del termine generale è $b_{n} = \frac{n ! e ^{n}}{n ^{n}}$ . Il rapporto $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}}$ vale $\frac{e}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}}$ , ed è maggiore di $1$ perché la successione $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ è crescente con limite $e$ , quindi resta sempre minore di $e$ . Perciò la successione $b_{n}$ è crescente e tutti i suoi termini sono maggiori o uguali a $b_{1} = e$ : il termine generale non tende a $0$ , quindi la serie non converge in nessuno dei due estremi. L’insieme di convergenza è l’intervallo aperto $(- e, e)$ .