Esercizi svolti · Scheda 2

Curve di livello

Teoria usata: Curva di livello Funzione di due o più variabili

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Esercizio 1

Determinare le curve di livello di

f (x, y) = 2 x - y + 1.

2 x - y + 1 = k

y = 2 x + 1 - k

La curva di livello $k$ è l’insieme delle soluzioni dell’equazione $f (x, y) = k$ , quindi si risolve $2 x - y + 1 = k$ rispetto a $y$ . Per ogni $k \in R$ si ottiene la retta $y = 2 x + 1 - k$ : le curve di livello sono le rette di coefficiente angolare $2$ , una per ogni valore di $k$ , tutte parallele tra loro. Al crescere di $k$ la retta trasla verso il basso, poiché l’intercetta $1 - k$ diminuisce. Le curve di livello di una funzione di primo grado sono sempre rette parallele, perché il grafico della funzione è un piano.

Esercizio 2

Determinare le curve di livello di

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x .

x^{2} + y^{2} - 4 x = k

(x - 2)^{2} + y^{2} = k + 4

$k > - 4$ : circonferenza di centro $(2, 0)$ e raggio $k + 4$
$k = - 4$ : il punto $(2, 0)$
$k < - 4$ : insieme vuoto

L’equazione $x^{2} + y^{2} - 4 x = k$ si riscrive completando il quadrato nella variabile $x$ : poiché $x^{2} - 4 x = (x - 2)^{2} - 4$ , l’equazione diventa $(x - 2)^{2} + y^{2} = k + 4$ . Il primo membro è una somma di quadrati, quindi l’equazione ha soluzioni soltanto se $k + 4 \geq 0$ . Per $k > - 4$ la curva di livello è la circonferenza di centro $(2, 0)$ e raggio $k + 4$ ; per $k = - 4$ la somma di quadrati è nulla e resta il solo punto $(2, 0)$ ; per $k < - 4$ l’insieme di livello è vuoto. Il valore $k = - 4$ è il minimo della funzione, assunto nel centro comune delle circonferenze.

Esercizio 3

Determinare le curve di livello di

f (x, y) = e^{y - x^{2}} .

e^{y - x^{2}} = k, k > 0

y - x^{2} = ln k

y = x^{2} + ln k

$k > 0$ : parabola $y = x^{2} + ln k$
$k \leq 0$ : insieme vuoto

L’esponenziale assume soltanto valori strettamente positivi, quindi per $k \leq 0$ l’equazione $f (x, y) = k$ non ha soluzioni e l’insieme di livello è vuoto. Per $k > 0$ si applica il logaritmo a entrambi i membri, operazione lecita perché i due membri sono positivi, e si ottiene $y - x^{2} = ln k$ , cioè la parabola $y = x^{2} + ln k$ . Le curve di livello sono perciò le traslate verticali della parabola $y = x^{2}$ : per $k = 1$ si ottiene la parabola $y = x^{2}$ , dato che $ln 1 = 0$ , per $k > 1$ le traslate verso l’alto e per $0 < k < 1$ le traslate verso il basso, poiché in quel caso $ln k < 0$ .