Esercizi svolti · Scheda 1

Domini di funzioni di due variabili

Teoria usata: Dominio naturale Insieme aperto e insieme chiuso Insieme limitato e insieme compatto

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Esercizio 1

Determinare e descrivere il dominio di

f (x, y) = 4 - x^{2} - y^{2} .

4 - x^{2} - y^{2} \geq 0

x^{2} + y^{2} \leq 4

D = {(x, y) \in R^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 4}

La radice quadrata richiede un argomento maggiore o uguale a zero, quindi la condizione è $4 - x^{2} - y^{2} \geq 0$ , cioè $x^{2} + y^{2} \leq 4$ . L’insieme delle soluzioni è il disco chiuso di centro l’origine e raggio $2$ , circonferenza di bordo inclusa. Poiché la disuguaglianza è larga, il dominio è chiuso; è anche limitato, perché contenuto nel disco di raggio $2$ , quindi è compatto.

Esercizio 2

Determinare e descrivere il dominio di

f (x, y) = ln (y - x^{2}) .

y - x^{2} > 0

y > x^{2}

D = {(x, y) \in R^{2} : y > x^{2}}

Il logaritmo richiede un argomento strettamente positivo, quindi la condizione è $y > x^{2}$ . Il dominio è la regione dei punti che stanno strettamente sopra la parabola $y = x^{2}$ , parabola esclusa. La disuguaglianza è stretta tra funzioni continue, perciò $D$ è aperto; non è limitato, perché contiene punti con ordinata arbitrariamente grande, ed è connesso, dato che due suoi punti qualunque si congiungono con una curva sopra la parabola.

Esercizio 3

Determinare e descrivere il dominio di

f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 + ln (4 - x^{2} - y^{2}) .

{x^{2} + y^{2} - 1 \geq 0 4 - x^{2} - y^{2} > 0

{x^{2} + y^{2} \geq 1 x^{2} + y^{2} < 4

D = {(x, y) \in R^{2} : 1 \leq x^{2} + y^{2} < 4}

La radice e il logaritmo impongono due condizioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente, quindi si scrivono a sistema: l’argomento della radice maggiore o uguale a zero e l’argomento del logaritmo strettamente positivo. Il sistema equivale a $1 \leq x^{2} + y^{2} < 4$ , perciò il dominio è la corona circolare centrata nell’origine compresa tra i raggi $1$ e $2$ , con la circonferenza interna inclusa e quella esterna esclusa. La corona non è aperta, poiché i punti della circonferenza interna non sono interni, e non è chiusa, poiché la circonferenza esterna è fatta di punti di frontiera che non appartengono a $D$ ; è limitata e connessa.

Esercizio 4

Determinare e descrivere il dominio di

f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2} - 9} .

{x y \geq 0 x^{2} + y^{2} \neq = 9

D = {(x, y) \in R^{2} : x y \geq 0, x^{2} + y^{2} \neq = 9}

La radice al numeratore richiede $x y \geq 0$ e il denominatore deve essere diverso da zero, quindi le due condizioni vanno a sistema. La disuguaglianza $x y \geq 0$ individua il primo e il terzo quadrante, assi compresi, poiché il prodotto di due numeri è maggiore o uguale a zero quando i due numeri hanno lo stesso segno oppure almeno uno è nullo. La condizione $x^{2} + y^{2} \neq = 9$ toglie da questa regione i punti della circonferenza di centro l’origine e raggio $3$ . Il dominio non è limitato, perché contiene tutto l’asse $x$ , e non è né aperto né chiuso: i punti degli assi non sono interni, mentre i punti tolti della circonferenza sono di frontiera per $D$ senza appartenervi.