Esercizi svolti · Scheda 3

Serie con il confronto asintotico

Teoria usata: Criterio del confronto asintotico Serie armonica Serie armonica generalizzata Criterio del confronto

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Esercizio 1

Studiare il carattere della serie

n = 1 \sum \infty sin \frac{1}{n} .

\frac{1}{n} \to 0, n \to + \infty lim \frac{sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} = 1 ⟹ sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} diverge ⟹ n = 1 \sum \infty sin \frac{1}{n} diverge a + \infty

Per $n \geq 1$ si ha $0 < \frac{1}{n} \leq 1 < π$ , quindi $sin \frac{1}{n} > 0$ e il confronto asintotico si applica. Poiché $\frac{1}{n} \to 0$ , il limite notevole del seno con la sostituzione $y = \frac{1}{n}$ dà $sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ . Le due serie hanno allora lo stesso carattere; la serie armonica diverge, quindi la serie data diverge a $+ \infty$ .

Esercizio 2

Studiare il carattere della serie

n = 1 \sum \infty (1 - cos \frac{1}{n}) .

n \to + \infty lim \frac{1 - cos \frac{1}{n}}{\frac{1}{n ^{2}}} = \frac{1}{2} ⟹ 1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}}

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2}} converge ⟹ n = 1 \sum \infty (1 - cos \frac{1}{n}) converge

Il termine generale è non negativo, perché il coseno non supera $1$ . Poiché $\frac{1}{n} \to 0$ , il limite notevole $\frac{1 - cos y}{y ^{2}} \to \frac{1}{2}$ con $y = \frac{1}{n}$ dà $1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}}$ . Il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente $α = 2$ si applica, e poiché $α = 2 > 1$ quella serie converge; perciò anche la serie data converge.

Esercizio 3

Studiare il carattere della serie

n = 1 \sum \infty (n n - 1) .

n n - 1 = e^{\frac{l n n}{n}} - 1, \frac{ln n}{n} \to 0

n \to + \infty lim \frac{e ^{\frac{l n n}{n}} - 1}{\frac{ln n}{n}} = 1 ⟹ n n - 1 \sim \frac{ln n}{n}

\frac{ln n}{n} \geq \frac{1}{n} per n \geq 3, n = 1 \sum \infty \frac{1}{n} diverge ⟹ n = 1 \sum \infty (n n - 1) diverge a + \infty

Si riscrive la radice in forma esponenziale, $n n = e^{\frac{l n n}{n}}$ , e si osserva che l’esponente $\frac{ln n}{n}$ tende a $0$ per la gerarchia degli infiniti. Il limite notevole $\frac{e ^{y} - 1}{y} \to 1$ con $y = \frac{ln n}{n}$ dà quindi $n n - 1 \sim \frac{ln n}{n}$ , e per $n \geq 2$ entrambe le quantità sono positive.

Resta da stabilire il carattere di $\sum \frac{ln n}{n}$ . Per $n \geq 3$ vale $ln n \geq 1$ , quindi $\frac{ln n}{n} \geq \frac{1}{n}$ ; la serie armonica diverge, perciò per il criterio del confronto diverge anche $\sum \frac{ln n}{n}$ . Per il confronto asintotico la serie data ha lo stesso carattere e diverge a $+ \infty$ .