Esercizi svolti · Scheda 3

Potenze con la formula di De Moivre

Teoria usata: Formula di De Moivre Forma trigonometrica e argomento Formula di Eulero e forma esponenziale

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3

Esercizio 1

Calcolare

(1 + i)^{8} .

1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})

(1 + i)^{8} = (2)^{8} (cos \frac{8 π}{4} + i sin \frac{8 π}{4}) = 16 (cos 2 π + i sin 2 π) = 16

Il numero $1 + i$ ha modulo $1 + 1 = 2$ e parte reale positiva, quindi il suo argomento è $arctan 1 = \frac{π}{4}$ . Per la formula di De Moivre, nell’ottava potenza il modulo si eleva all’ottava e l’argomento si moltiplica per $8$ : il modulo diventa $(2)^{8} = 2^{4} = 16$ e l’argomento diventa $2 π$ , che individua lo stesso punto dell’argomento $0$ . Perciò la potenza è il numero reale $16$ .

Esercizio 2

Calcolare

(3 + i)^{6} .

3 + i = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})

(3 + i)^{6} = 2^{6} (cos \frac{6 π}{6} + i sin \frac{6 π}{6}) = 64 (cos π + i sin π) = - 64

Il modulo di $3 + i$ è $3 + 1 = 2$ ; la parte reale è positiva, quindi l’argomento è $arctan \frac{1}{3} = \frac{π}{6}$ . Applicando la formula di De Moivre con $n = 6$ , il modulo diventa $2^{6} = 64$ e l’argomento diventa $6 \cdot \frac{π}{6} = π$ . Poiché $cos π = - 1$ e $sin π = 0$ , il risultato è il numero reale $- 64$ .

Esercizio 3

Calcolare

(1 - i 3)^{5} .

1 - i 3 = 2 (cos (- \frac{π}{3}) + i sin (- \frac{π}{3}))

(1 - i 3)^{5} = 2^{5} (cos (- \frac{5 π}{3}) + i sin (- \frac{5 π}{3}))

- \frac{5 π}{3} + 2 π = \frac{π}{3} ⟹ (1 - i 3)^{5} = 32 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 16 + 163 i

Il modulo di $1 - i 3$ è $1 + 3 = 2$ ; la parte reale è positiva, quindi l’argomento è $arctan (- 3) = - \frac{π}{3}$ , angolo del quarto quadrante. Per la formula di De Moivre la quinta potenza ha modulo $2^{5} = 32$ e argomento $- \frac{5 π}{3}$ .

L’argomento $- \frac{5 π}{3}$ non appartiene all’intervallo $(- π, π]$ , quindi si somma $2 π$ e si ottiene l’argomento principale $\frac{π}{3}$ , che individua lo stesso punto. Poiché $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ e $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ , il risultato in forma algebrica è $32 \cdot \frac{1}{2} + 32 \cdot \frac{3}{2} i = 16 + 163 i$ .