Esercizi svolti · Scheda 1

Operazioni e quozienti in forma algebrica

Teoria usata: Somma, prodotto, reciproco e quoziente Coniugato e sue proprietà Parte reale e parte immaginaria

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Esercizio 1

Scrivere in forma algebrica

z = (3 + 2 i) (1 - i) + (2 - i)^{2} .

(3 + 2 i) (1 - i) = 3 - 3 i + 2 i - 2 i^{2} = 5 - i

(2 - i)^{2} = 4 - 4 i + i^{2} = 3 - 4 i

z = (5 - i) + (3 - 4 i) = 8 - 5 i

Il primo prodotto si svolge con la proprietà distributiva: compaiono i quattro termini $3$ , $- 3 i$ , $2 i$ , $- 2 i^{2}$ . Poiché $i^{2} = - 1$ , il termine $- 2 i^{2}$ vale $2$ , quindi la parte reale è $3 + 2 = 5$ e la parte immaginaria è $- 3 + 2 = - 1$ .

Il quadrato si calcola con la formula del quadrato di un binomio: $(2 - i)^{2} = 4 - 4 i + i^{2}$ . Dato che $i^{2} = - 1$ , la parte reale vale $4 - 1 = 3$ .

Nella somma finale si sommano tra loro le parti reali e tra loro le parti immaginarie, perciò $z = 8 - 5 i$ .

Esercizio 2

Scrivere in forma algebrica

z = \frac{1 + 2 i}{3 - i} .

z = \frac{( 1 + 2 i ) ( 3 + i )}{( 3 - i ) ( 3 + i )} = \frac{3 + i + 6 i + 2 i ^{2}}{9 + 1} = \frac{1 + 7 i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10} i

Per eliminare l’unità immaginaria dal denominatore si moltiplicano numeratore e denominatore per $3 + i$ , coniugato del denominatore. Al denominatore compare il prodotto $(3 - i) (3 + i) = 3^{2} + 1^{2} = 10$ , che è reale perché il prodotto di un numero per il suo coniugato è il quadrato del modulo.

Al numeratore il prodotto $(1 + 2 i) (3 + i)$ dà $3 + i + 6 i + 2 i^{2}$ ; poiché $2 i^{2} = - 2$ , la parte reale vale $3 - 2 = 1$ e la parte immaginaria vale $1 + 6 = 7$ . Dividendo per $10$ si separano parte reale e parte immaginaria del risultato.

Esercizio 3

Determinare parte reale e parte immaginaria di

z = \frac{1 + i}{1 - i} + \frac{2}{i} .

\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{1 + 2 i + i ^{2}}{2} = \frac{2 i}{2} = i

\frac{2}{i} = \frac{2 \cdot ( - i )}{i \cdot ( - i )} = \frac{- 2 i}{1} = - 2 i

z = i - 2 i = - i, Re (z) = 0, Im (z) = - 1

Nel primo quoziente si moltiplicano numeratore e denominatore per $1 + i$ , coniugato del denominatore. Al numeratore compare $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2}$ ; poiché $i^{2} = - 1$ , la parte reale si cancella e resta $2 i$ . Al denominatore il prodotto vale $1^{2} + 1^{2} = 2$ , quindi il quoziente è $i$ .

Nel secondo quoziente il coniugato di $i$ è $- i$ , e il prodotto $i \cdot (- i) = - i^{2} = 1$ rende reale il denominatore; il quoziente vale $- 2 i$ .

La somma dei due risultati è $- i$ , numero immaginario puro, perciò la parte reale è $0$ e la parte immaginaria è $- 1$ .