Esercizi svolti · Scheda 2

Estremi superiore e inferiore di insiemi numerici

Teoria usata: Maggiorante, minorante, insieme limitato Massimo e minimo Estremo superiore e inferiore Intervalli e loro notazione

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Esercizio 1

Determinare maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di $A = (- 2, 5]$ .

maggioranti: [5, + \infty), minoranti: (- \infty, - 2]

sup A = max A = 5, in f A = - 2, min A non esiste

Un numero $M$ è un maggiorante quando supera o uguaglia ogni elemento dell’insieme. Ogni $M \geq 5$ è un maggiorante, perché gli elementi di $A$ sono al più $5$ ; nessun $M < 5$ lo è, perché $5 \in A$ e $5 > M$ . Poiché $5$ è un maggiorante e appartiene all’insieme, $5$ è il massimo, e il massimo coincide con l’estremo superiore.

Per i minoranti il ragionamento è simmetrico: ogni $m \leq - 2$ è un minorante, perché gli elementi di $A$ superano $- 2$ ; un numero $m > - 2$ non lo è, perché tra $- 2$ e $m$ l’intervallo contiene punti minori di $m$ . L’estremo inferiore, che è il più grande dei minoranti, vale quindi $- 2$ . Il minimo non esiste, perché $- 2 \in / A$ e il minimo di un insieme deve appartenergli.

Esercizio 2

Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di

A = {\frac{n}{n + 1} : n \in N, n \geq 1} .

\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}

in f A = min A = \frac{1}{2}, sup A = 1, max A non esiste

La riscrittura $\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ rende leggibile il comportamento degli elementi: al crescere di $n$ il termine $\frac{1}{n + 1}$ diminuisce, quindi gli elementi crescono. L’elemento più piccolo si ottiene perciò con $n = 1$ e vale $\frac{1}{2}$ : è un minorante e appartiene all’insieme, quindi è il minimo, e coincide con l’estremo inferiore.

Il numero $1$ è un maggiorante, perché $\frac{1}{n + 1} > 0$ e quindi ogni elemento è minore di $1$ . Nessun numero $L < 1$ è un maggiorante: infatti la disequazione $1 - \frac{1}{n + 1} > L$ equivale a $\frac{1}{n + 1} < 1 - L$ , cioè a $n + 1 > \frac{1}{1 - L}$ , e un naturale così grande esiste perché $N$ non è limitato superiormente. Quindi $1$ è il più piccolo dei maggioranti, cioè $sup A = 1$ . Il massimo non esiste, perché $1 \in / A$ ; infatti l’uguaglianza $\frac{n}{n + 1} = 1$ richiederebbe $\frac{1}{n + 1} = 0$ , che nessun naturale realizza.

Esercizio 3

Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di

A = {(- 1)^{n} + \frac{1}{n} : n \in N, n \geq 1} .

n pari : 1 + \frac{1}{n} n dispari : - 1 + \frac{1}{n}

sup A = max A = \frac{3}{2}, in f A = - 1, min A non esiste

Il fattore $(- 1)^{n}$ distingue due famiglie di elementi, quindi conviene esaminarle separatamente. Per $n$ pari gli elementi sono $1 + \frac{1}{n}$ : il più grande si ottiene con il più piccolo $n$ pari, cioè $n = 2$ , e vale $\frac{3}{2}$ , mentre gli altri sono compresi tra $1$ e $\frac{3}{2}$ . Per $n$ dispari gli elementi sono $- 1 + \frac{1}{n}$ , tutti minori o uguali a $0$ , perché $\frac{1}{n} \leq 1$ . Ogni elemento dell’insieme è quindi minore o uguale a $\frac{3}{2}$ , e $\frac{3}{2}$ appartiene ad $A$ : è il massimo, perciò è anche l’estremo superiore.

Per l’estremo inferiore: ogni elemento supera $- 1$ , perché $(- 1)^{n} \geq - 1$ e $\frac{1}{n} > 0$ , quindi $- 1$ è un minorante. Nessun $m > - 1$ è un minorante: infatti per $n$ dispari la disequazione $- 1 + \frac{1}{n} < m$ equivale a $\frac{1}{n} < m + 1$ , cioè a $n > \frac{1}{m + 1}$ , e un naturale dispari così grande esiste. Quindi $in f A = - 1$ . Il minimo non esiste, perché $- 1 \in / A$ ; infatti l’uguaglianza $- 1 + \frac{1}{n} = - 1$ richiederebbe $\frac{1}{n} = 0$ .