Esercizi svolti · Scheda 2

Derivate di funzioni composte

Teoria usata: Derivata della funzione composta Derivate delle funzioni elementari

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Esercizio 1

Calcolare la derivata di $f (x) = sin (3 x^{2} + 1)$ .

f^{'} (x) = cos (3 x^{2} + 1) \cdot (3 x^{2} + 1)^{'} = 6 x cos (3 x^{2} + 1)

La funzione è composta: la funzione esterna è il seno, l’argomento è $3 x^{2} + 1$ . Poiché la derivata del seno è il coseno, si scrive $cos (3 x^{2} + 1)$ lasciando intatto l’argomento; la regola della funzione composta richiede poi di moltiplicare per la derivata dell’argomento, che vale $6 x$ . La derivata è quindi $6 x cos (3 x^{2} + 1)$ , definita su tutto $R$ .

Esercizio 2

Calcolare la derivata di $f (x) = ln (x^{2} + 4)$ .

f^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2} + 4} \cdot (x^{2} + 4)^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 4}

Il polinomio $x^{2} + 4$ è positivo per ogni $x$ , quindi la funzione è definita su tutto $R$ . La funzione esterna è il logaritmo, la cui derivata è il reciproco dell’argomento, perciò il primo fattore è $\frac{1}{x ^{2} + 4}$ ; la derivata dell’argomento vale $2 x$ . Il prodotto dei due fattori dà $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 4}$ .

Esercizio 3

Calcolare la derivata di $f (x) = 1 + e^{2 x}$ .

f^{'} (x) = \frac{1}{2 1 + e ^{2 x}} \cdot (1 + e^{2 x})^{'} = \frac{2 e ^{2 x}}{2 1 + e ^{2 x}} = \frac{e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}}

La composizione ha tre livelli: la radice quadrata, la funzione $1 + e^{2 x}$ e l’esponente $2 x$ . La derivata della radice è $\frac{1}{2 \cdot}$ con l’argomento intatto, quindi il primo fattore è $\frac{1}{2 1 + e ^{2 x}}$ . Per derivare $1 + e^{2 x}$ si applica di nuovo la regola della composta: la derivata di $e^{2 x}$ è $e^{2 x}$ moltiplicato per la derivata dell’esponente, cioè $2 e^{2 x}$ . Il fattore $2$ si semplifica con il $2$ della radice, perciò $f^{'} (x) = \frac{e ^{2 x}}{1 + e ^{2 x}}$ . Poiché $1 + e^{2 x} > 0$ per ogni $x$ , la derivata è definita su tutto $R$ .