Esercizi svolti · Scheda 3

Aree di superfici di rotazione e porzioni di sfera e cilindro

Teoria usata: Area di una superficie di rotazione Area di una superficie

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Esercizio 1

Calcolare l’area della superficie laterale del cono ottenuto ruotando attorno all’asse $z$ il segmento di equazioni $x = t$ , $z = 2 t$ con $t \in [0, 3]$ .

g (t) = t, h (t) = 2 t, g^{'} (t)^{2} + h^{'} (t)^{2} = 1 + 4 = 5

Area = 2 π \int_{0}^{3} t 5 d t = 2 π 5 \cdot \frac{9}{2} = 95 π

La curva che genera la superficie è il segmento $x = g (t) = t$ , $z = h (t) = 2 t$ , con $g \geq 0$ , quindi la formula dell’area di una superficie di rotazione si applica. Le derivate sono $g^{'} = 1$ e $h^{'} = 2$ , perciò il fattore $g^{'2} + h^{'2} = 5$ è costante. L’integrale si riduce a $2 π 5 \int_{0}^{3} t d t$ , e poiché $\int_{0}^{3} t d t = \frac{9}{2}$ , l’area vale $95 π$ . Lo stesso valore si ottiene dalla formula elementare $π R L$ della superficie laterale del cono, con raggio di base $R = 3$ e apotema $L = 9 + 36 = 35$ .

Esercizio 2

Calcolare l’area della calotta sferica

Σ = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4, z \geq 1} .

r (φ, θ) = (2 sin φ cos θ, 2 sin φ sin θ, 2 cos φ), d σ = 4 sin φ d φ d θ

z \geq 1 ⟺ 2 cos φ \geq 1 ⟺ 0 \leq φ \leq \frac{π}{3}

Area = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π /3} 4 sin φ d φ d θ = 8 π [- cos φ]_{0}^{π /3} = 8 π (1 - \frac{1}{2}) = 4 π

La calotta è una porzione della sfera di raggio $2$ , quindi si usa la parametrizzazione sferica, il cui elemento d’area è $d σ = R^{2} sin φ d φ d θ = 4 sin φ d φ d θ$ . La condizione $z \geq 1$ si traduce sui parametri: poiché $z = 2 cos φ$ , la disuguaglianza equivale a $cos φ \geq \frac{1}{2}$ , cioè $φ \in [0, \frac{π}{3}]$ , mentre $θ$ percorre l’intero giro. L’integrale in $θ$ dà $2 π$ e quello in $φ$ dà $1 - cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , quindi l’area è $4 π$ . Il risultato è coerente con la formula $2 π R h$ dell’area di una calotta, con $R = 2$ e altezza $h = 2 - 1 = 1$ .

Esercizio 3

Calcolare l’area della porzione del cilindro $x^{2} + y^{2} = 9$ compresa tra il piano $z = 0$ e il piano $z = x + 5$ .

r (θ, t) = (3 cos θ, 3 sin θ, t), d σ = 3 d θ d t

0 \leq t \leq 3 cos θ + 5, 3 cos θ + 5 > 0 per ogni θ

Area = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3 c o s θ + 5} 3 d t d θ = 3 \int_{0}^{2 π} (3 cos θ + 5) d θ = 3 (0 + 10 π) = 30 π

Il cilindro di raggio $3$ si parametrizza con l’angolo $θ$ e la quota $t$ , e l’elemento d’area è $d σ = R d θ d t = 3 d θ d t$ , poiché per il cilindro la norma del vettore normale è il raggio. Sul cilindro vale $x = 3 cos θ$ , quindi il piano superiore taglia la superficie alla quota $t = 3 cos θ + 5$ ; dato che $3 cos θ + 5 \geq 2 > 0$ per ogni $θ$ , la quota superiore resta sopra il piano $z = 0$ e la regione dei parametri è $0 \leq t \leq 3 cos θ + 5$ con $θ \in [0, 2 π]$ . L’integrale interno in $t$ dà la lunghezza $3 cos θ + 5$ della generatrice. Nell’integrale in $θ$ il termine $3 cos θ$ ha integrale nullo sul periodo, perciò resta $5 \cdot 2 π = 10 π$ , e l’area vale $30 π$ .