Esercizi svolti · Scheda 1

Vettore normale e piano tangente a superfici parametriche

Teoria usata: Superficie regolare Vettore normale Piano tangente a una superficie

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Esercizio 1

Determinare il vettore normale e il piano tangente alla superficie

r (u, v) = (u + v, u - v, uv)

nel punto corrispondente a $(u_{0}, v_{0}) = (1, 1)$ .

P_{0} = r (1, 1) = (2, 0, 1)

r_{u} = (1, 1, v), r_{v} = (1, - 1, u)

r_{u} (1, 1) = (1, 1, 1), r_{v} (1, 1) = (1, - 1, 1)

N = r_{u} \land r_{v} = i 11 j 1 - 1 k 11 = (2, 0, - 2)

2 (x - 2) - 2 (z - 1) = 0 ⟹ x - z = 1

Il punto della superficie si ottiene sostituendo $(u_{0}, v_{0}) = (1, 1)$ nella parametrizzazione, quindi $P_{0} = (2, 0, 1)$ . I vettori derivati $r_{u}$ e $r_{v}$ si calcolano derivando le tre componenti rispetto a $u$ e rispetto a $v$ , e poi si valutano nel punto. Il vettore normale è il loro prodotto vettoriale, che si sviluppa con il determinante simbolico: la prima componente è $1 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1) = 2$ , la seconda è $- (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 0$ , la terza è $1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1 = - 2$ . Poiché $N = (2, 0, - 2) \neq = 0$ , la superficie è regolare nel punto e il piano tangente esiste. Il piano tangente passa per $P_{0}$ ed è ortogonale a $N$ , perciò la sua equazione è $2 (x - 2) + 0 \cdot (y - 0) - 2 (z - 1) = 0$ , che semplificata diventa $x - z = 1$ .

Esercizio 2

Determinare il vettore normale e il piano tangente all’elicoide

r (u, v) = (u cos v, u sin v, 2 v)

nel punto corrispondente a $(u_{0}, v_{0}) = (1, \frac{π}{2})$ .

P_{0} = r (1, \frac{π}{2}) = (0, 1, π)

r_{u} = (cos v, sin v, 0), r_{v} = (- u sin v, u cos v, 2)

r_{u} (1, \frac{π}{2}) = (0, 1, 0), r_{v} (1, \frac{π}{2}) = (- 1, 0, 2)

N = r_{u} \land r_{v} = i 0 - 1 j 10 k 02 = (2, 0, 1)

2 (x - 0) + (z - π) = 0 ⟹ 2 x + z = π

Il punto si ottiene per sostituzione: poiché $cos \frac{π}{2} = 0$ e $sin \frac{π}{2} = 1$ , risulta $P_{0} = (0, 1, π)$ . Il vettore $r_{u}$ si ottiene derivando rispetto a $u$ con $v$ costante, il vettore $r_{v}$ derivando rispetto a $v$ con $u$ costante. Il prodotto vettoriale dei due vettori valutati nel punto dà $N = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 0, - (0 \cdot 2 - 0 \cdot (- 1)), 0 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1)) = (2, 0, 1)$ . Il vettore normale non è nullo, quindi il piano tangente è il piano per $P_{0}$ ortogonale a $N$ , cioè $2 x + z = π$ .

Esercizio 3

Data la sfera di raggio $2$ parametrizzata da

r (φ, θ) = (2 sin φ cos θ, 2 sin φ sin θ, 2 cos φ),

calcolare il vettore normale nel punto corrispondente a $(φ_{0}, θ_{0}) = (\frac{π}{3}, 0)$ , verificare che è parallelo al vettore posizione e scrivere il piano tangente.

P_{0} = r (\frac{π}{3}, 0) = (3, 0, 1)

r_{φ} = (2 cos φ cos θ, 2 cos φ sin θ, - 2 sin φ), r_{θ} = (- 2 sin φ sin θ, 2 sin φ cos θ, 0)

r_{φ} (\frac{π}{3}, 0) = (1, 0, - 3), r_{θ} (\frac{π}{3}, 0) = (0, 3, 0)

N = r_{φ} \land r_{θ} = i 10 j 03 k - 3 0 = (3, 0, 3) = 3 (3, 0, 1)

3 (x - 3) + (z - 1) = 0 ⟹ 3 x + z = 4

Nel punto assegnato si ha $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ e $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ , quindi $P_{0} = (3, 0, 1)$ . I due vettori derivati, valutati nel punto, sono $(1, 0, - 3)$ e $(0, 3, 0)$ , e il loro prodotto vettoriale è $N = (0 \cdot 0 - (- 3) \cdot 3, - (1 \cdot 0 - (- 3) \cdot 0), 1 \cdot 3 - 0) = (3, 0, 3)$ . Raccogliendo $3$ si ottiene $N = 3 (3, 0, 1)$ , cioè un multiplo positivo del vettore posizione $P_{0}$ ; perciò la normale alla sfera è radiale e, con questa parametrizzazione, punta verso l’esterno. Il piano tangente è il piano per $P_{0}$ ortogonale alla direzione $(3, 0, 1)$ , cioè $3 x + z = 4$ . Il termine noto $4$ coincide con il quadrato del raggio, in accordo con la formula generale $x x_{0} + y y_{0} + z z_{0} = R^{2}$ del piano tangente a una sfera centrata nell’origine.